ข้อนี้เป็นโจทย์ปัญหาที่น่าทำมากครับ โจทย์อ่านแล้วอาจจะงงนิดหน่อย แต่ค่อยๆอ่านครับ แล้วค่อยๆคิดตั้งสมการขึ้นมาตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาให้ได้ครับ มาดูโจทย์กันเลย
24. รถจักรยานคันหนึ่งเมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะทาง 120 ฟุต ล้อหลังจะหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 6 รอบ ถ้าล้อหลังมีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{4}\) เท่า และล้อหน้ามีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{5}\) เท่า ล้อหลังจะหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 4 รอบ เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าเดิมแล้ว ล้อทั้งสองมีเส้นรอบวงต่างกันกี่ฟุต
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนกับเรื่องที่เราเรียนตอน ม.3 คือ โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ผมกำหนดให้
จักรยานคันนี้ล้อหลังมีเส้นรอบวงเป็น \(2\pi r\) และ
จักรยานคันนี้ล้อหน้ามีเส้นรอบวงเป็น \(2\pi R\)
ดังนั้น เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ 120 ฟุต แต่ละล้อจะหมุนได้
ล้อหลังหมุนได้ \(\frac{120}{2\pi r}\) รอบ
ล้อหน้าหมุนได้ \(\frac{120}{2\pi R}\) รอบ
ล้อหลังหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 6 รอบจึงได้สมการว่า
\[\frac{120}{2\pi r}-\frac{120}{2\pi R}=6\] จัดสมการให้สวยงามนิดหนึ่งจะได้
\[\frac{60}{2\pi r}-\frac{60}{2\pi R}=6 \quad \quad (1)\]
เก็บสมการที่หนึ่งไว้ก่อนครับ
มาดูเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาอีกล้อหลังมีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{4}\) เท่า ตรงนี้หมายความว่า
\(2\pi r +\frac{1}{4}2\pi r=\frac{5\pi r}{2}\)
และล้อหน้ามีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{5}\) เท่า ตรงนี้หมายความว่า
\(2\pi R+\frac{1}{5}2\pi R=\frac{12\pi R}{5}\) หลังจากที่เพิ่มเส้นรอบวงขอล้อแลัวโจทย์บอกว่าล้อหลังหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 4 รอบ จะได้สมการเป็น
\(\frac{120}{\frac{5}{2}\pi r}-\frac{120}{\frac{12}{5}\pi R}=4\) จัดสมการนิดหนึ่งจะได้
\[\frac{48}{\pi r}-\frac{50}{\pi R}=4 \quad \quad (2)\]
เมื่อได้ระบบสมการแล้ว เราก็มาแก้ระบบสมการ ครับ
\begin{array}{lcl}\frac{60}{\pi r}-\frac{60}{\pi R}&=&6\quad \quad (1)\\\frac{48}{\pi r}-\frac{50}{\pi R}&=&4 \quad \quad (2)\end{array}
นำ \(5\times (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{300}{\pi r}-\frac{300}{\pi R}&=&30\quad \quad (3)\end{array}
นำ \(6\times (2) \) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{288}{\pi r}-\frac{300}{\pi R}&=&24\quad \quad (4)\end{array}
ต่อไปนำสมการ \((3)-(4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{12}{\pi r}&=&6\\ \pi r&=&2\end{array}
ต่อไป แทน \(\pi r\) ด้วย \( 2 \) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{60}{2}-\frac{60}{\pi R}&=&6\\\pi R&=&\frac{5}{2}\end{array}
ใกล้เสร็จแล้วครับเรามาสรุปกันดีกว่าครับว่าหาค่าอะไรลงไปบ้าง ตอนนี้เราได้
\[\pi r=2\]
ดังนั้น
\[2\pi r=4\]
นั่นก็คือ ล้อหลังมีเส้นรอบวงยาว 4 ฟุต
อีกอันคือ
\[\pi R=\frac{5}{2}\]
ดังนั้น
\[2\pi R=2\times \frac{5}{2}=5\]
นั่นก็คือ ล้อหน้ามีเส้นรอบวงยาว 5 ฟุต
โจทย์ถามว่าล้อทั้งสองมีเส้นรอบวงต่างกันกี่ฟุต คำตอบก็คือ \(5-4=1\) ฟุต ตอบ