39.กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\)  โดยที่ \(a,b\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \(a>b\)  

ถ้า  \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) และ \(a+b=4\)  แล้ว \(det(A+B^{t})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -10
2. -7
3. 7
4. 10

วิธีทำ

ข้อนี้เขากำหนดเมทริกซ์ \(A\) มีให้แล้วหา \(det(A)\) ไว้ก่อนเลย ได้ใช้แน่นอนคับจะได้

\(det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2\)

จาก \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) จะได้

\begin{array}{lcl}det(A)det(B^{-1})&=&\frac{2}{5}\\det(A)\frac{1}{det(B)}&=&\frac{2}{5}\\det(B)&=&\frac{5}{2}det(A)\\det(B)&=&\frac{5}{2}\times (-2)\\det(B)&=&-5\quad\cdots (1)\end{array}

เห็นที่โจทย์กำหนดเมทริกซ์ \(B\) ให้ไหมคับ จะได้ \(det(B)=(a)(b)-(1)(0)=ab\) กลับไปดูสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า

\(ab=-5\) ดังนั้นตอนนี้ที่เราได้คือ 

\[ab=-5\quad\cdots (2)\]

\[a+b=4\quad\cdots (3)\] 

แก้สมการเลยครับ จากสมการที่ \((3)\) จะได้ \(a=4-b\)  ต่อไปนำ \(a=4-b\) ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}ab&=&-5\\(4-b)b&=&-5\\4b-b^{2}&=&-5\\-b^{2}+4b+5&=&0\\b^{2}-4b-5&=&0\\(b-5)(b+1)&=&0\\so\\b=5\quad , b=-1 \end{array} 

ต่อไปเอาค่า \(b\) ที่เราได้ไปแทนในสมการ \((3)\) จะได้

ถ้า \(b=5\) จะได้ \(a=-1\) อันนี้ใช้ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่า \(a>b\)

ถ้า \(b=-1\) จะได้ \(a=5\) อันนี้ใช้ได้

ทำต่อเลยครับ

จาก \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\)  แทนค่า \(a\) และ \(b\) ลงไปจะได้

\(B=\begin{bmatrix}5&1\\0&-1\end{bmatrix}\)  ดังนั้น

\(Bู^{t}=\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\) 

ต่อไปหาค่าของ \(A+B^{t}\) จะได้

\begin{array}{lcl}A+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&2\\4&3\end{bmatrix}\\so\\det(A+B^{t})&=&(6)(3)-(4)(2)\\&=&10\quad\underline{Ans}\end{array}