38. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมตริกซ์มิติ \(3\times 3\)

ถ้า \(det(A)=-3\)  และ

\(A^{t}B-2A^{t}C^{t}=-3A^{-1}\)

แล้ว \(det(2C-B^{t})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -3
2. -1
3. 1
4. 3

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สมบัติของทรานโพส และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ คือ

\((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)

\((A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}\)

\(det(cA)=c^{n}det(A)\)

\(det(A^{t})=det(A)\)

\((cA)^{t}=cA^{t}\)

  ใช้สมบัติพวกนี้แหละคับ  เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}A^{t}B-2A^{t}C^{t}&=&-3A^{-1}\\A^{t}(B-2C^{t})&=&-3A^{-1}\\det[A^{t}(B-2C^{t})]&=&det(-3A^{-1})\\det(A^{t})det(B-2C^{t})&=&(-3)^{3}det(A^{-1})\\det(A)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{det(A)}\\(-3)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{-3}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{(-3)\times (-3)}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{9}\\det(B^{t}-2C)^{t}&=&-3\\det(B^{t}-2C)&=&-3\\det[-(2C-B^{t})]&=&-3\\(-1)^{3}det(2C-B^{t})&=&-3\\det(2C-B^{t})&=&\frac{-3}{-1}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}