45. กำหนดให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงโดยที่ \(\sin x+\cos x=\frac{4}{3}\)

ถ้า \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มโดยที่ ห.ร.ม. ของ \(a\) และ \(b\) เท่ากับ \(1\) แล้ว \(a^{2}+b^{2}\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 มี.ค.56 ข้อ 28]

วิธีทำ ข้อนี้ใครที่ไม่เคยฝึกทำโจทย์เลย บอกเลยว่าเริ่มต้นไม่เป็นแน่นอน ฉะนั้นควรฝึกทำโจทย์เยอะๆจะได้เริ่มต้นถูกนะคับ  เริ่มต้นวิธีการทำคือ เอาสมการนีั \(\sin x+\cos x=\frac{3}{4}\) มายกกำลังสองครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\sin x+\cos x&=&\frac{4}{3}\\(\sin x+\cos x)^{2}&=&(\frac{4}{3})^{2}\\\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x&=&\frac{16}{9}\\\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\1+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}-1\\2\sin x\cos x&=&\frac{7}{9}\\\sin x\cos x&=&\frac{7}{18}\quad\cdots (1)\end{array}

ก่อนจะทำต่อ เราต้องรู้สูตรพวกนี้ก่อนคับ

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\)

\(\sec^{2}x-tan^{2}x=1\)

\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)

\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)

ต่อไปเราก็เริ่มหาค่าของ \(a\) และ \(b\) ซึ่งก็เริ่มหาจากสมการนี้ \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เริ่มเลยคับ

\begin{array}{lcl}(1+\tan^{2}x)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(1+\sec^{2}-1)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(\frac{1}{\cos^{2}x})\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos^{2}}\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos x\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\sin x\cos x&=&\frac{b}{a}\\ from \quad (1)\\ \frac{7}{18}&=&\frac{b}{a}\\so\\b=7\quad and\quad a=18\\a^{2}=324\quad b^{2}=49\\a^{2}+b^{2}&=&324+49\\&=&373\quad\underline{Ans}\end{array}