44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 40
2. 42
3. 80
4. 82

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า

\(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)

เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย

\begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}

แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)

ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ

\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}