53. ให้ \(p(x)=x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริงลบ ถ้าเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-3\) เท่ากับ \(18\) แล้วเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(2x+1\) เท่ากับเท่าใด

1. \(3\)
2. \(18\)
3. \(22\)
4. \(\frac{207}{8}\)
5. \(\frac{209}{8}\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับเนื่องจากโจทย์บอกว่า เศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-3\) เท่ากับ \(18\) นั่นก็คือ \(p(3)=18\) นั่นเองครับผม เริ่มทำเลยครับ ค่อยๆดูนะ ข้อนี้ไม่ยาก

\begin{array}{lcl}p(x)&=&x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\\p(3)&=&3^{3}+(k-1)3^{2}-k^{3}\\18&=&27+9k-9-k^{3}\\-k^{3}+9k&=&18-27+9\\-k^{3}+9k&=&0\\k^{3}-9k&=&0\\k(k^{2}-9)&=&0\\so\\k=0\\or\\k^{2}=9\rightarrow k=3,-3\end{array}

เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(k\) เป็นจำนวนจริงลบ ดั้งนั้น \(k=-3\) นั่นเองคับ

ตอนนี้เราได้ค่า \(k\) แล้วดังนั้นเราสามารถหาเศษเหลือได้ที่โจทย์ถามได้เลยครับ  โจทย์ให้หา เศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(2x+1\) นั่นคือให้หา \(p(-\frac{1}{2})\) นั่นเองคับ  เริ่มหาเลย

\begin{array}{lcl}p(x)&=&x^{3}+(k-1)x^{2}-k^{3}\\p(x)&=&x^{3}+(-3-1)x^{2}-(-3)^{3}\\p(x)&=&x^{3}-4x^{2}+27\\p(-\frac{1}{2})&=&(-\frac{1}{2})^{3}-4(-\frac{1}{2})^{2}+27\\&=&-\frac{1}{8}-(4)(\frac{1}{4})+27\\&=&-\frac{1}{8}-1+27\\&=&\frac{207}{8}\end{array}