51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\)  ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร

เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง  ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า 

\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\) 

นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)