65. สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=\sqrt[3]{x^{2}+2}\) ที่จุด \(x=5\) คือข้อใดต่อไปนี้

1. \(10x-27y+31=0\)
2. \(5x-13y+14=0\)
3. \(27x-10y-105=0\)
4. \(13x-5y-50=0\)

วิธีทำ ข้อนี้อยากให้พวกเราไปอ่านเรื่องนี้ก่อน ความชันของเส้นโค้ง  ซึ่งข้อสรุปในการหาความชันเส้นโค้งคือ เอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ เมื่อดิฟออกมาแล้วสิ่งที่ได้คือ เป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส ดังรูปด้านล่าง แต่เวลาทำข้อสอบจริงๆไม่มีรูปให้ดูนะคับ ผมเอามาให้ดูเพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้น  แต่ที่แน่ๆ ต้องดิฟให้เป็น โดยเฉพาะการดิฟรูท

เริ่มทำกันเลย ดิฟสมการเส้นโค้งเพื่อหาความชันของเส้นสัมผัส

\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&(x^{2}+2)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x\\y^{\prime}&=&\frac{2x}{3(x^{2}+2)^\frac{2}{3}}\\x=5\\y^{\prime}&=&\frac{2(5)}{3(27)^{2/3}}\\y^{\prime}&=&\frac{10}{27}\end{array}

นั่นก็คือที่จุด \(x=5\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\)  และที่จุดนี้มีค่า \(y\) คือ

\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt[3]{x^{2}+2}\\y&=&\sqrt[3]{27}\\y&=&3\end{array}

นั่นก็คือ ที่จุด \(x=5,\quad y=3\) เส้นสัมผัสเส้นเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(\frac{10}{27}\) ซึ่งมีสมการคือ 

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-3&=&\frac{10}{27}(x-5)\\27(y-3)&=&27\times \frac{10}{27}(x-5)\\27y-81&=&10(x-5)\\27y-10x-81+50&=&0\\27y-10x-31&=&0\\10x-27y+31&=&0\quad\underline{Ans}\end{array}