ความชันของเส้นโค้ง เราเคยหาความชันของเส้นตรงมาแล้วใช้ไหม ถ้าใครไม่เคยให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนความชันของเส้นตรง ซึ่งจะเห็นว่าการหาความชันของเส้นตรงนั้นเราต้องอาศัยจุดสองจุด ก็คือรู้จุดสองจุดสามารถหาความชันได้ครับ  ดูรูปประกอบ

แต่ถ้าเป็นเส้นโค้ง ดูรูปประกอบนะ  เราจะหาความชันของเส้นโค้งไม่ได้ครับถ้าเราเลือกจุดมาเหมือนกับเส้นตรงแล้วมาหาความชันจะได้ความชันไม่เท่ากันแน่นอนครับ ดังนั้นเราจึงมีวิธีการหาความชันของเส้นโค้งซึ่งจะเริ่มศึกษากันในบทความนี้ครับ

เริ่มกันเลยครับ

กำหนดให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)  ต่อไปจะอาศัยความรู้เรื่องลิมิตในการหาความชันของเส้นตรง \(L\)

กำหนดให้เส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\)

\(P(a,b)\)  และ  \(Q(a+h,b+k)\)  เป็นจุดบนเส้นโค้ง โดยที่ \(h\neq 0\)  ดังรูปที่ 3

ลากส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  เรียกส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  ว่าเส้นตัดกราฟ

ความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{(b+k)-b}{(a+h)-a}=\frac{k}{h}\)

เนื่องจาก  \(b+k=f(a+h)\)  และ  \(b=f(a)\) 

ดังนั้นความชันของส่วนของเส้นตรง \(PQ\)  คือ  \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

นั่นคือ  \(\frac{h}{k}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

เลือกจุด \(Q_{1}\) บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\) และ  \(Q\)

เลือกจุด \(Q_{2}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{1}\)

เลือกจุด \(Q_{3}\)  บนเส้นโค้งอยู่ระหว่างจุด \(P\)  และ \(Q_{2}\)

ทำอย่างนี้เรื่อยๆครับจะเห็นได้ว่าจนถือได้ว่า  \(Q_{n}\)  เกือบทับจุด \(P\)

และเส้นตัดกราฟ \(PQ_{n}\) เกือบจะทับกันเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\)

ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P\) เท่ากับ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  (ถ้าหาค่าลิมิตได้)

ความชันของเส้นโค้ง ณ  จุดสัมผัส \(P(x,y)\)  หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ  จุด \(P\)

 

ต่อไปเรามาดูโจทย์เกี่ยวกับความชันของเส้นโค้งกันครับ

1. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของสมการ \(y=\frac{1}{x}\) ที่จุด \((3,1)\)

วิธีทำ  ความชันของเส้นโค้ง ที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ  หาได้จาก

\(\displaystyle\lim_{h\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  จุด \(P\)  ในข้อนี้มีพิกัดคือ \((3,1)\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3-h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-h}{3(3+h)h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-1}{3(3+h)}\\&=&-\frac{1}{9}\end{array}


2. ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=x-2x^{2}\)  จงหา

1)  ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

2)  สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)

วิธีทำ ทำข้อ 1)  ก่อนครับทำเหมือนเดิมเลย 

ความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\) หาได้จาก \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)-2(1+h)^{2}-(1-(2)1^{2})}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-3h-2h^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(-3-2h)\\&=&-3\end{array}

ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \(P(1,-1)\)  คือ \(-3\)

ต่อไปทำข้อ 2)  ครับ จากข้อหนึ่งเราจะได้ว่าเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \(-3\)  และ จุด \((1,-1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งครับจากที่เรารู้มาแล้วว่าสมการเส้นตรงคือ

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

เมื่อ \((x_{1},y_{1})\)  คือจุดบนเส้นตรงในที่นี้ก็คือ  \((1,-1)\) ครับ ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งหรือว่าสมการเส้นตรงนี้ก็คือ

\[y-(-1)=(-3)(x-1)\]

จัดรูปให้สวยๆหน่อยๆจะได้

\[y+1=3-3x\]

จัดให้สวยขึ้นไปอีกจะได้

\[y=2-3x\]


3. จงหาความชันของเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดให้และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

1) \(y=x^{2}-3x\)  ที่จุด \((3,0)\)

วิธีทำ  ข้อนี้เราจะหาความชันของเส้นโค้งโดยนิยามก่อนนะครับยังไม่ใช้การดิฟครับ เราจะได้ความชันของเส้นโค้งตามนิยามคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^{2}-3(3+h)-(3^{2}-3(3))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9+6h+h^{2}-9-3h-9+9}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}+3h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+3)\\&=&3\end{array}

ต่อไปหาสมการที่สัมผัสเส้นโค้งในจุด \((3,0)\)  ความชันของเส้นโค้งที่เราได้มานั้นก็คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั่นเอง ดังนั้น เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(3\) เมื่อเรารู้ความชัน และรู้จุดหนึ่งจุดซึ่งก็คือ \((3,0\) อยู่บนเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง เราก็สามารถหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนั้นได้ ซึ่งก็คือ

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

\[y-0=3(x-3)\]

จัดรูปนิดหนึ่งจะได้

\[y=3x-9\]

ต่อไปผมจะไม่หาความชันของเส้นโค้งตามนิยามแล้วนะครับเพราะว่ามันยาวไป ผมจะใช้วิธีการดิฟเอาครับ พอดิฟเสร็จ สมมติเราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((a,b)\)  เราก็เอา \(a\)  ไปแทนในตัวแปร x ที่เราดิฟเอาไว้เราก็จะได้ความชันของเส้นโค้งในจุด \((a,b)\)  ครับ ฟังแล้วอาจจะงงเริ่มทำเลยดีกว่าครับ

2) \(y=\frac{6}{x+1}\)  ที่จุด \((2,2)\)

วิธีทำ ดิฟเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{6}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)(0)-(6)(1+0)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{-6}{(x+1)^{2}}\end{array}

ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,2)\)  คือ \(\frac{-6}{(2+1)^{2}}=\frac{-2}{3}\)

ต่อไปหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง เนื่องจากความชันเส้นโค้งก็คือความชันของเส้นตรงที่สมผัสเส้นโค้ง และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((2,2)\)  เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้มีสมการเป็น

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

\[y-2=-\frac{2}{3}(x-2)\]  

จัดสมการนิดหน่อยจะได้

\[y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}+2\]

\[y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}\]


2. ถ้ากราฟของ \(y=ax\) ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของ \(y=3x^{2}+8\)  ที่จุด \((1,11)\) จงหาค่าของ \(a\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับ เราก็แค่ดิฟสมการเส้นโค้งก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง อย่าลืมนะครับเส้นสัมผัสเส้นโค้งก็คือเส้นตรงนั่นเองครับและเส้นตรงนี้ขนานกับ กราฟของ \(y=ax\)  ซึ่ง \(y=ax\) ก็คือสมการเส้นตรงนั่นเอง ดังนั้นมันขนานกันความชันย่อมเท่ากัน เริ่มดิฟเลย

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&6x\end{array}

ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ  \(6(x)=6(1)=6\)   

นั่นคือ \(a=6\)  นั่นเอง


3.จงหาสมการเส้นโค้ง \(y=f(x)\) เมื่อกำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆและจุดที่เส้นโค้งผ่านดังนี้

1) \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\)  จุด \((2,1)\)

วิธีทำ  เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ

 \(\frac{dy}{dx}=x^{2}-3x+2\) ดังน้น สมการเส้นโค้งคือ

\begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(x^{2}-3x+2)}dx\\y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\end{array}

จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\)

ต่อไปหาค่า \(C\) เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด \((2,1)\) ดังแทน \(x\) ด้วย 2  และแทน \(y\) ด้วย 1 ลงไปในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(C\) จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+C\\1&=&\frac{2^{3}}{3}-3\frac{2^{2}}{2}+2(2)+C\\1&=&\frac{8}{3}-6+4+C\\C&=&\frac{1}{3}\end{array}

เมื่อเราได้ค่า \(C\) แล้ว ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

\(y=\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x+\frac{1}{3}\)


2) \(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) จุด \((0,5)\)

วิธีทำ เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ

\(\frac{dy}{dx}=2x^{3}+4x\) ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ

\begin{array}{lcl}\int{\frac{dy}{dx}}&=&\int{(2x^{3}+4x}\\y&=&2\frac{x^{4}}{4}+4\frac{x^{2}}{2}\\y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\end{array}

จะได้สมการเส้นโค้งคือ \(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\) ต่อไปก็ทำเหมือนข้อข้างบนคือหาค่า \(C\) ครับผม ก็เส้นโค้งเส้นนี้ผ่านจุด  \((0,5)\) ดังนั้นแทน \(x\) ด้วย 0 และแทน \(y\) ด้วย 5 ลงไปในสมการเส้นโค้งจะได้

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+C\\5&=&\frac{0^{4}}{2}+2(0)+C\\C&=&5\end{array}

ดังนั้น

สมการเส้นโค้งคือ

\(y=\frac{x^{4}}{2}+2x^{2}+5\)


สรุป เกี่ยวกับความชันเส้นโค้งนิดหนึ่งนะครับ 

 ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ \(y=f(x)\) เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด \(P(x,y)\) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \(P\) และมีความชันเท่ากับ \(y^{\prime}\) 

ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \(P(x,y)\) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด \(P\)

ข้อความข้างบนถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆก็คือ  ถ้าเราเอาสมการเส้นโค้งมาดิฟ ค่าที่ดิฟได้จะเป็นความชันของเส้นโค้งนั้นและความชันนี้ยังเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งด้วย  

ต่อไปลองไปทำโจทย์ที่มันหลากหลายกว่าเดิมครับผม

1. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(x^{2}-y^{2}=7\) ณ จุดสัมผัส \((4,3)\) 

วิธีทำ จากสมการเส้นโค้งที่เขากำหนดมากให้คือ \(x^{2}-y^{2}=7\) จัดสมการให้อยู่ในรูป \(y=f(x)\) เพื่อที่จะดิฟง่ายๆหน่อย

\begin{array}{lcl}x^{2}-y^{2}&=&7\\y^{2}&=&x^{2}-7\\y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\end{array}

ต่อไปหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งโดยการนำสมการเส้นโค้งมาดิฟ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&(x^{2}-7)^{1/2}\\y^{\prime}&=&\frac{1}{2}(x^{2}-7)^{-1/2}\cdot 2x\\&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\end{array}

เนื่องเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((4,3)\) ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเสั้นโค้งคือ

\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&x(x^{2}-7)^{-1/2}\\&=&4(4^{2}-7)^{-1/2}\\&=&(4)\cdot 9^{-1/2}\\&=&\frac{4}{3}\end{array}

ดังนั้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\)

ต่อไปเราก็หาสมการของเส้นสัมผัสเสันโค้งนี้ อย่าลืมนะเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็นเส้นตรง ซึ่งสมการเส้นตรงก็คือ

\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) เรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(\frac{4}{4}\) ดังนั้น \(m=\frac{4}{3}\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \(4,3\) ดังนัั้นต้องแทน \(x_{1}=4\) และแทน \(y_{1}=3\) จึงได้สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็น

\begin{array}{lcl}y-3&=&\frac{4}{3}(x-4)\\3(y-3)&=&4(x-4)\\3y-9&=&4x-16\\3y-4x+7&=&0\end{array}

ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ \(3y-4x+7=0\)


2.ถ้าความชันของเส้นสัมผัสซึ่งสัมผัสกราฟ \(y=5x^{2}+cx\)  ที่จุด \((3,-12)\) มีค่าเท่ากับ \(8\) แล้ว \(c\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  เรานำเส้นโค้งมาดิฟหรือมาหาอนุพันธ์กันเลยเพื่อที่จะได้ความชันออกมา  เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}y&=&5x^{2}+cx\\y^{\prime}&=&10x+c\end{array}

เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเท่ากับ 8 จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}10x+c&=&8\end{array}  และสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด \((3,-12)\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}10x+c&=&8\\10(3)+c&=&8\\30+c&=&8\\c&=&-22\quad \underline{Ans}\end{array} 


3.จุดบนเส้นโค้ง \(y=x^{2}-3x-4\) ที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \(1\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ หาจุด\((x,y)\) ใดๆบนเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ \((1)\) ซึ่งเรารู้ว่าความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับความชันของเส้นโค้งในจุดสัมผัส ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้ง นะคับดิฟเลย

\begin{array}{lcl}y=x^{2}-3x-5\\\frac{dy}{dx}&=&2x-3\\1&=&2x-3\\x&=&2\end{array}

ดังนั้นเรารู้ค่า\(x=2\) ดังนั้นเอาไปแทนค่าในสมการเส้นโค้งเพื่อหาค่า \(y\) ต่อจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3x-4\\y&=&2^{2}-3(2)-4\\y&=&-6\end{array}

ดังนั้นจุดบนเส้นโค้งคือ \((2,-6)\)


4. เส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(y=\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\) ที่จุด \((-2,\frac{35}{3})\) ถ้าเส้นตรง \(L_{2}\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ที่จุด \((0,\frac{23}{3})\) แล้ว จงหาสมการของเส้นตรง \(L_{2}\) 

 วิธีทำ หาความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) ก่อนนะคับ หาได้จากการดิฟสมการเส้นโค้งที่จุดสัมผัสนั่นแหละจะได้

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}-2x+5\\\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\end{array} แทน \(x\) ด้วย \(-2\) ลงไปสมการเส้นโค้งที่เราดิฟก็จะได้ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\)ออกมาครับผม ได้ว่า

\begin{array}\frac{dy}{dx}&=&2x^{2}+4x-2\\&=&2(-2)^{2}+4(-2)-2\\&=&-2\end{array}

ดังนั้น เส้นตรง \(L_{1}\) มีความชันเท่ากับ \(-2\) และเส้นตรง \(L_{1}\) ผ่านจุด \((-2,\frac{35}{3})\) ดังนั้นเส้นตรง \(L_{1}\) จึงมีสมการคือ

\begin{array}{lcl}L_{1}: y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{35}{3}&=&(-2)(x+2)\\y-\frac{35}{3}&=&-2x-4\\3y-35&=&-6x-12\\3y+6x-23&=&0\end{array}

นั่นก็คือ สมการเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3y+6x-23=0\) ความจริงสมการเส้นตรง \(L_{1}\) ไม่ต้องหาออกมาก็ได้นะ ผมดูโจทย์ผิดนึกว่าให้หาสมการเส้นตรง \(L_{1}\) 

เขาให้หาสมการเส้นตรง \(L_{2}\) ซึ่งเส้นตรงนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง \(L_{1}\) ซึ่งเส้นตรงที่ตั้งฉากกันเอาความชันมาคูณกันจะได้เป็น \(-1\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า เส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(2\) และเส้นตรง \(L_{2}\) นี้ผ่านจุด \((0,\frac{23}{3})\) ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการเป็น

\begin{array}{lcl}L_{2}:y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-\frac{23}{3}&=&2(x-0)\\3y-23&=&6x\\3y-6x-23&=&0\end{array}

ดังนั้น เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการคือ \(3y-6x-23=0\)

Pin It