1. กำหนดให้  \(P(x)=ax^{2}+9x-5\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(x-1\) หาร \(P(x)\) แล้วเหลือเศษ \(6\)  รากที่เป็นจำนวนจริงบวกของสมการ \(P(x)=0\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ \(P(x)\) หารด้วย \(x-1\) แล้วเหลือเศษ \(6\) นั่นหมายความว่า \(P(1)=6\) นั่นเองครับ ซึ่งจากสมการนี้เราจะสามารถหาค่า \(a\) ได้

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{2}+9x-5\\P(1)&=a(1)^{2}+9(1)-5\\6&=&a+9-5\\6&=&a+4\\a&=&2\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(a=2\) ดังนั้น

\(P(x)=2x^{2}+9x-5\) และ \(P(x)=0\) ก็คือ \(2x^{2}+9x-5=0\) เราก็แก้สมการนี้เพื่อหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}2x^{2}+9x-5&=&0\\(2x-1)(x+5)&=&0\\so\\x&=&\frac{1}{2},\quad -5\end{array}

แต่โจทย์ให้หารากที่เป็นจำนวนจริงบวก ก็คือให้หาคำตอบที่เป็นบวกเท่านั้นดังนั้นข้อนี้ตอบ \(x=\frac{1}{2}=0.5\)

---

2. ถ้า \(a\) เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง \(x-a\) หาร \(x^{2}-x-17\) เหลือเศษ \(3\) แล้ว \(x+a^{2}\) หาร \(x^{2}+ax\) จะเหลือเศษเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆนะคับ เห็นว่าโจทย์คล้ายกับพวกวิชาสามัญ คล้ายๆกับพวก A-level ก็เลยเอาให้ดูครับ ข้อสอบพวกทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) พวกทฤษฎีจำนวนไม่ยากคับ แนวข้อสอบคล้ายกันเลย ไปลองทำดูเลยคับ

\begin{array}{lcl}P(x)&=&x^{2}-x-17\\P(a)&=&a^{2}-a-17\end{array}

เนื่องจาก \(x-a\) หาร \(x^{2}-x-17\) เหลือเศษ \(3\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}a^{2}-a-17&=&3\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&0\\a&=&5,-4\\a\in I^{+}\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะได้ว่า \(x+a^{2}=x+5^{2}=x+25\) นั่นเองคับ

โจทย์ถามว่า \(x+a^{2}\) หาร \(x^{2}+ax\) แล้วเหลือเศษเท่าใด ก็คือถามหา \(P(-25)\) นั่นเองคับ เริ่มหาคำตอบเลย

\begin{array}{lcl}P(x)&=&x^{2}+ax\\P(x)&=&x^{2}+5x\\P(-25)&=&(-25)^{2}+5(-25)\\P(-25)&=&625-125\\P(-25)&=&500\quad\underline{Ans}\end{array}

---

3.ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(x^{2}+ax+b\) หาร \(x^{3}-3x^{2}+5x+7\) มีเศษเหลือเท่ากับ \(10\) ค่า \(a+b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้ต้องกลับไปดูพื้นฐานของการหารเช่น ผมเอา \(9\div 2\) จะได้คำตอบคือ ได้ \(4\) เศษ 1 ซึ่งถ้าเราเขียนให้อยู่ในรูปสมการได้คือ

\[9=(4\times 2)+1\]  นั่นคือ

ตัวตั้ง เท่ากับ (ตัวหาร\(\times\) ผลลัพธ์) + เศษ

ดังนั้นจากโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\end{array}

ต่อไปให้นำ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) ไปแยกตัวประกอบ จะเห็นได้ว่า

ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3\)

\(P(1)=1-3+5-3=0\) นั่นคือ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) หารด้วย \(x-1\) ลงตัว ก็ไปหารสังเคราะห์เลย การหารสังเคราะห์ไปอ่านตามลิงก์ที่ผมให้นะคับ ไปศึกษาเอง หลังจากหารสังเคราะห์เสร็จแล้ว เราจะได้ว่า \(x^{3}-3x^{2}+5x-3=(x^{2}-2x+3)(x-1)\)

นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\\(x^{2}-2x+3)(x-1)&=&(x^{2}+ax+b)\times\square\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราทำต่อไม่ได้แล้วคือแยกตัวประกอบต่อไปไม่ได้แล้ว ดังนั้นเราก็เทียบสัมประสิทธิ์เพื่อหาค่าของ \(a\) และ \(b\) กันเลย จึงได้ว่า \(a=-2\) และ \(b=3\)

ดังนั้น \(a+b=-2+3=1\)