1. ร้านขายไอศกรีมแห่งหนึ่ง มีไอศกรีม 10 รส โดยมีรสกะทิเป็น 1 ใน 10 รส ในวันเด็ก ร้านนี้ได้แจกไอศรีมฟรีให้แก่ เด็กคนละ 1 ถ้วย  ถ้วยละ 2 รส ถ้าสุ่มเด็กที่ได้รับแจกไอศกรีมมาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่ถ้วยไอศกรีมของเด็กคนนี้ไม่มีรสกะทิเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ตอนนี้ให้เราจินตนาการว่า เรามี ไอศกรีม 10 รศ คือ A,B,C,D,E,F,G,H,I,J   ผมให้ A เป็นรสกะทินะ ฉะนั้นในไอศกรีมหนึ่งถ้วยก็อาจจะประกอบไปด้วยรส AB อยู่ด้วยกัน หรือว่า BC อยู่ด้วยกัน ดังนั้นจะมีได้ทั้งหมด 

\[C_{10,2}=\frac{10!}{8!2!}=45\]

นั่นก็คือจะมีไอศกรีมที่เป็นไปได้ทั้งหมด 45 ถ้วย

ต่อไปเราจะเห็นว่าจะมีไอศกรีมรสกะทิทั้งหมด 9 ถ้วย ก็คือ AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ 

นั่นก็คือความน่าจะเป็นของถ้วยไอศกรีมของเด็กจะมีรสกะทิด้วยคือ \(\frac{9}{45}=\frac{1}{5}\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นของถ้วยไอศกรีมของเดก็จะไม่มีรสกะทิคือ \(\frac{4}{5}=0.8\quad\underline{Ans}\)


2. จำนวนนับที่มีค่ามากกว่าเจ็ดแสนที่ได้จา่กการนำเลขโดด \( 0,7,7,8,8,9 \) มาจัดเรียง มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. 120
  2. 150
  3. 250
  4. 350
  5. 550

วิธีทำ การทำข้อนี้เป็นการสร้างเลขหกหลักที่มีค่ามากกว่าเจ็ดแสนนั่นเอง เช่น 

779880,988770,807898  พวกนี้มากกว่า เจ็ดแสนแน่นอน

077889,088977,089877  พวกนี้น้อยกว่า เจ็ดแสนเพราะหลักแสนเป็นเลขศูนย์  

ดังนั้นแนวคิดข้อนี้ก็คือ หาจำนวนวิธีทั้งหมดในการสร้างเลขหกหลักจากเลขโดดที่เขากำหนดมาให้  แล้วลบด้วยกรณีที่หลักแสนเป็นเลข 0

ซึ่งจะต้องใช้ความรู้เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดหรือก็คือมีบางสิ่งซ้ำกันนั่นเอง เอาละเรามาเรียนกันเลย

ถ้าเราเอาเลขโดย 0,7,7,8,8,9 มาสร้างเลขหกหลักก็จะได้จำนวนเลขทั้งหมด

\[\frac{6!}{2!2!}\] 

ในกรณีที่หลักแสนเป็นเลข 0  ก็คือนำเลขโดด 7,7,8,8,9 มาสร้างเป็นเลขห้าหลักจะได้จำนวนเลขทั้งหมด

\[\frac{5!}{2!2!}\] 

แล้วก็เอามาลบกันก็จะได้คำตอบคับ

\(\frac{6!}{2!2!}-\frac{5!}{2!2!}=150\) 


3. \(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ลองกระจายดูก่อนคับ 

เอาที่โจทย์ให้มาไปกระจายดูเลย\(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\)

จะได้แบบนี้

\(=(-1)^{0}\binom{6}{0}7^{6-0}5^{0}+(-1)^{1}\binom{6}{1}7^{6-1}5^{1}+(-1)^{2}\binom{6}{2}7^{6-2}5^{2}+\cdots +(-1)^{6}\binom{6}{6}7^{6-6}5^{6}\)

\(=\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}\)

ซึ่งมันไปตรงกับสูตรทฤษฎีบททวินาม ไปอ่านดูตามลิงก์นะคับ นั่นก็คือ

\(\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}=(7-5)^{6}=2^{6}=64\)


4. กำหนดให้ \(S=\{1,2,3,\cdots ,10\}\) และ \(M=\{(x,y)|x,y\in S\}\) ถ้าสุ่มหยิบ \((x,y)\) จาก \(M\) มาหนึ่งตัวแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ \((x,y)\) ซึ่ง \(x^{2}+y^{2}<25\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(\frac{13}{100}\)
  2. \(\frac{15}{100}\)
  3. \(\frac{17}{100}\)
  4. \(\frac{19}{100}\)
  5. \(\frac{21}{100}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราหาสมาชิกทั้งหมดในเซต \(M\) จะได้เท่ากับ \(10\times 10=100\) ตัว หน้าตาคร่าวของเซต \(M\) ก็จะประมาณนี้

\(M=\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(10,10)\}\) ต่อไปเราก็ไปหาว่าคู่ไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วรวมกันมีค่าน้อยกว่า 25 ซึ่งก็จะมี

\((1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)\) ก็คือคู่อันดับพวกนี้ ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ค่าน้อยกว่า 25 

อย่างเช่น \((3,2)\to 3^{2}+2^{2}=9+4=13<25\) ซึ่งนับแล้วแบบนี้มีทั้งหมด 13 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบสมาชิกใน \(M\) แล้วได้คู่อันดับที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันมีค่าน้อยกว่า 25 เท่ากับ \(\frac{13}{100}\) นั่นเอง


5.นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A   5 คน ได้เกรดB  15 คน และได้เกรดC  10 คน ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คน จากห้องนี้แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่ได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(\frac{44}{203}\)
  2. \(\frac{55}{203}\)
  3. \(\frac{66}{203}\)
  4. \(\frac{77}{203}\)
  5. \(\frac{88}{203}\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยาก ดังนั้นเราก็แบบนี้คือ เอา 1 ลบออกด้วยความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียน 3 คนแล้วไม่ใครได้เกรด A สักคนเลย

 

มีนักเรียนอยู่ 30 คน จำนวนวิธีในการสุ่มนักเรียนมา 3 คนเท่ากับ \(\binom{30}{3}\) วิธี

มีนักเรียนอยู่ 25 คนที่ไม่ได้เกรดA จำนวนวิธีสุ่มนักเรียนมา 3 คนซึ่งสามคนนั้นไม่ได้เกรดAเลยเท่ากับ \(\binom{25}{3}\) วิธี

ดังนั้น

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วสามคนนั้นไม่ได้เกรดA เลยเท่ากับ \(\frac{\binom{25}{3}}{\binom{30}{3}}=\frac{25\times 24\times 23}{30\times 29\times 28}=\frac{115}{203}\)

ตอนนี้ใกล้ได้คำตอบแล้ว

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วได้เกรด A อย่างน้อย 1 คน จะเท่ากับ 1 ลบออกด้วย ความน่าจะเป็นจะที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วไม่ได้เกรด A เลยก็คือ

\(1-\frac{115}{203}=\frac{88}{203}\underline{Ans}\)

Pin It