1. การเท่ากันของเมทริกซ์  เมทริกซ์ A และ เมทริกซ์ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ

1) มีมิติเดียวกัน

2) สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน เช่น

\(\begin{bmatrix}5&a\\6&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\)

แสดงว่า \(a=1\quad , b=4\)

 ตัวอย่าง 1    กำหนด  \(A=\begin{bmatrix}3x-2&2x\\2y+3&3y\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}10&2x\\-5&3y\end{bmatrix}\)

ถ้า \(A=B\) แล้วจงหาเมทริกซ์ \(A,\quad B\)

วิธีทำ  จากโจทย์เขากำหนดให้ว่าเมทริกซ์ A เท่าก้ับ เมทริกซ์ B ดังนั้น สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันจะเท่ากัน จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3x-2&=&10\quad\cdots \quad (1)\\2x&=&2x\quad\cdots (2)\\2y+3&=&-5\quad\cdots (3)\\3y&=&3y\quad\cdots (4)\end{array}

จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}3x-2&=&10\\3x&=&12\\x&=&\frac{12}{3}\\x&=&4\end{array}

จากสมการ \((3)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}2y+3&=&-5\\2y&=&-8\\y&=&\frac{-8}{2}\\y&=&-4\end{array}

ดังนั้น \(x=4,\quad y=-4\)  แล้วเอาค่า \(x\) กับ \(y\) นี้ไปแทนค่าในเมทริกซ์นะคับจะได้

\(2x=2(4)=8\)

\(3y=3(-4)=-12\)

นั่นคือ จะได้เมทริกซ์ A และ B คือ

\(A=B=\begin{bmatrix}10&8\\-5&-12\end{bmatrix}\)

2. การบวกกันของเมทริกซ์

บทนิยาม  \(A,B\) เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ \(m\times n\) แล้ว

\(A+B=\begin{bmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\)

จากนิยามของบนนั่นคือเมทริกซ์จะบวกกันได้ก็ต่อเมื่อ

1) มีมิติเดียวกัน

2) นำสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันบวกกันกลายเป็นสมาชิกของเมทริกซ์ใหม่ในตำแหน่งเดียวกัน เช่น

\(\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2&0\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+(-2)&1+0\\3+1&4+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\4&6\end{bmatrix}\)

ตัวอย่าง 2  กำหนด \(\begin{bmatrix}-1&2\\-2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-3\\5&-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\)  จงหา \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

วิธีทำ นำฝั่งซ้ายของสมการบวกกันก่อนเลยครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}(-1)+1+a&2+(-3)+b\\-2+5+c&4+(-6)+b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&-1+b\\3+c&-2+d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-3&2\\2&-1\end{bmatrix}\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการ \((1)\) จะได้

\(a=-3\)

\(-1+b=2\to b=3\)

\(3+c=2\to  c=-1\)

\(-2+d=-1\to  d=1\)

นั่นก็คือ

\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&3\\-1&1\end{bmatrix}\)

สรุปสมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์

ถ้ากำหนด \(A,B,C\) เป็นเมทริกซ์ใดๆและมีมิติเดียวกันแล้ว

1. \(A+B=B+A\)  สมบัติการสลับที่

2. \(A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)\)  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

3. \(A+B=A\)  แสดงว่า \(B\) เป็นเมทริกซ์ที่เป็นเอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์ \(A\) ดังนั้น เมทริกซ์ \(B\) จะเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติเดียวกันกับเมทริกซ์ \(A\)

4. \(A+B=\underline{0}\) แสดงว่า \(A\) และ \(B\) เป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน

3. การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์   การนำเอาสเกลาร์ใดๆ \(a\) คูณเมทริกซ์คือ การคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น เช่น

\[a\begin{bmatrix}3&2&7\\0&2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3a&2a&7a\\0&2a&3a\end{bmatrix}\]

และในทางกลับกันก็สามารถดึงตัวร่วมออกมาจากทุกๆ สมาชิกได้ เช่น

\(\begin{bmatrix}3&6&9\\12&15&-3\\1&5&-6\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&-1\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}&-2\end{bmatrix}\)

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

1. \(-A=(-1)A\)

2. \(a(A+B)=aA+aB\) เมื่อ \(A,B\) คือเมทริกซ์มิติเดียวกัน และ \(a\) คือจำนวนจริงใดๆ

ตัวอย่าง 3  กำหนด \(A=\begin{bmatrix}1&-3&0\\4&2&-5\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2&-3&1\\5&4&2\end{bmatrix}\) 

จงหา \(2A,-3B,2A+(-3B)\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2A&=&2\begin{bmatrix}1&-3&0\\4&2&-5\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-6&0\\8&4&-10\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}

\begin{array}{lcl}-3B&=&-3\begin{bmatrix}-2&-3&1\\5&4&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&9&-3\\-15&-12&-6\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}

\begin{array}{lcl}2A+(-3B)&=&\begin{bmatrix}2&-6&0\\8&4&-10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&9&-3\\-15&-12&-6\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}8&3&-3\\-7&-8&-16\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}

4. การลบกันของเมทริกซ์

บทนิยาม การลบกันระหว่างเมทริกซ์\( A\) และ\( B\) ใช้สัญลักษณ์ \( A-B\) โดยที่ \(A-B=A+(-1)B\)

ดังนั้น การลบกันของเมทริกซ์จึงใช้สมบัติเดียวกันกับการบวกกันของเมทริกซ์ ซึ่งก็คือ การนำเอาเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันลบกันโดยใช้สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันลบกัน เช่น

\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}3&5\\4&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3-1&5-2\\4-(-1)&2-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&3\\5&-1\end{bmatrix}\end{array}

 5. การคูณกันของเมทริกซ์  

บทนิยาม ให้ \(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\) และ \(B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{n\times p}\) ผลคูณของเมทริกซ์ \(A\) และ \(B\) เขียนแทนด้วย \(AB\) ซึ่งมีมิติ \(m\times p\)  กำหนดโดย

\(AB=\begin{bmatrix}c_{ij}\end{bmatrix}_{m\times p}\) และ \(c_{ij}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)

สำหรับการคูณเมทริกซ์ถ้าอ่านนิยามอ่านจะเข้าใจยากหน่อย สามารถศึกษาเพิ่มเติมตามยูทูบได้ครับ

สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์

ถ้า \(A,B,C\) เป็นเมทริกซ์ใดๆ และ \(k,s\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. \(AB\neq BA\) การคูณเมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่

2. \(A^{k}=A\cdot A\cdot A\cdots \cdot A\) (k ตัว)

เช่น \(A^{3}=A\dot A\dot A\) อย่างไรก็ตาม \(A^{3}\) หรือ \(A^{k}\) อาจไม่สามารถหาได้เพราะเงื่อนไขของมิติของเมทริกซ์ แต่ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสจะสามารถหาค่าของ \(A^{k}\)ได้เสมอ

3. \(A\dot I =A\)  โดยที่ \(I\)  เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติเดียวกับ \(A\)

4. \(A(B+C)=AB+AC\)

5. \(B+C)A=BA+CA\)

6. \(A(BC)=(AB)C\)

7. \((kA)(sB)=(ks)(AB)\)

8. \((A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2} \neq A^{2}+2AB+B^{2}\)

9. \((A-B)(A+B)=A^{2}+AB-BA-B^{2}\neq A^{2}-B^{2}\)

10. ถ้า \(AB=\underline{0}\) แล้ว \(A\) หรือ \(B\) ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ \(\underline{0}\)

6. ทรานสโพสของเมทริกซ์

บทนิยาม ถ้า \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) แล้วทรานสโพสของ \(A\quad (transpose fo A)\) เขียนแทนด้วย \(A^{T}\) หรือ \(A^{t}\)  คือเมทริกซ์ \(m\times n\) ที่มีหลักที่ \(i\) เหมือแถวที่ \(i\) ของเมทริกซ์ \(A\) เมื่อ \(i=1,2,3,4,\cdots ,m\) นั่นคือ \(A^{t}=[a_{ji}]_{n\times m}\)

สรุปง่ายๆก็คือ  ถ้าเรามีเมทริกซ์ A   และต้องการหาทรานสโพสเมทริกซ์ A  ก็คือ เอาแถวของเมทริกซ์ A มาเปลี่ยนเป็นหลักแทน ยกตัวอย่างเช่น

ตัวอย่าง 4  กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\)

จงหา \(A^{T},(A^{T})^{T}\quad B^{T}\)

วิธีทำ

\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^{T}=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\Rightarrow (A^{T})^{T}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)

\(B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\Rightarrow B^{T}=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{bmatrix}\)

เราจะสังเกตเห็นว่า \(B=B^{T}\) เรียกเมทริกซ์ที่เมื่อนำไปทรานโพสแล้วได้ตัวมันเองว่า เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix)

ตัวอย่าง 5 กำหนดให้ \(C=\begin{bmatrix}0&-1&2\\1&0&-3\\-2&3&0\end{bmatrix}\) จงหา \(C^{T}\)

วิธีทำ  

\(C=\begin{bmatrix}0&-1&2\\1&0&-3\\-2&3&0\end{bmatrix}\Rightarrow -C=\begin{bmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{bmatrix}\)

\(C^{T}=\begin{bmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{bmatrix}\)

จะสังเกตเห็นว่า \(C^{T}=-C\) เรียกเมทริกซ์ \(C\) ว่าเมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew symmetric matrix)

สมบัติที่สำคัญของการทรานสโพส

1. สัญลักษณ์ของทรานสโพสคือ \(A^{T}\)

2. ถ้า \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) แล้ว \(A^{T}=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}\)

3. \((A^{T})^{T}=A\)

4. \((kA)^{T}=kA^{T}\)

5. \((A\pm B)^{T}=A^{T}\pm B^{T}\)

6. \((A\cdot B)^{T}=B^{T}A^{T}\)