อินเวอร์ของความสัมพันธ์ คำว่า inverse ถ้าแปลเป็นไทยให้เข้าใจง่ายๆก็คือกลับด้าน คนละทางกัน
มาดูตัวอย่างเลยดีกว่า พูดมากเดี๋ยวงง
ตัวอย่าง 1 กำหนดความพันธ์ \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}\)
จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เราเขียนแทนด้วย \(r^{-1}\)
ดังนั้น เอาคู่อันดับใน r มาสลับที่กันก็จะเป็นอินเวอร์สของ r จึงได้ว่า
\(r^{-1}=\{(2,1),(4,3),(6,5)\} \quad Ans \)
เป็นไงง่ายไหม
จากตัวอย่างที่ผมยกให้ดูข้างบนความสัมพันธ์เขียนในรูปเซตแบบแจงแจงสมาชิก
แต่ถ้าความสัมพันธ์เขียนรูปเซตที่เป็นแบบบอกเงื่อนไข เราก็จะมีวิธีการหาอินเวอร์อีกแบบดังนี้
ตัวอย่าง 2 กำหนดความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)\in R \times R | y=3x+1\}\)
จงหาอินเวอร์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทำ จะเห็นได้ว่าความสัมพันธ์ r ที่โจทย์กำหนดมาให้เป็นเซตแบบบอกเงื่อนไข
วิธีการหาอินเวอร์สของ r ทำได้โดยง่ายคือเข้าไปสลับตัวแปรในเงื่อนไขเซต
คือ สลับ y เป็น x หรือ สลับ x เป็น y
เราจึงได้ว่า
\(r^{-1}=\{(x,y)\in R \times R | x=3y+1\}\)
จัดสมการนิดหนึ่งให้อยู่ในรูป y เท่ากับ ก็จะได้
\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R |y=\frac{x-1}{3}\}\)
เนียะละครับ ง่ายๆ
ตัวอย่าง 3 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\) และ \(r^{-1}\)
เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ \(r=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}\)
\(r^{-1}=\{(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)\}\)
\(D_{r}=\{1,2,3,4,5\}\)
\(R_{r}=\{2,3,4,5,6\}\)
\(D_{r^{-1}}=\{2,3,4,5,6\}\)
\(R_{r^{-1}}=\{1,2,3,4,5\}\)
ข้อนี้ถ้าสังเกตดีจะเห็นว่า โดเมนของ r คือ เรนจ์ของ \(r^{-1}\)
และ เรนจ์ของ r คือ โดเมนของ \(r^{-1}\) ไม่มีไรมากถ้าเข้าใจมันก็คือการสลับกันไปสลับกันมานั่นเอง
ตัวอย่าง 4 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\) และ \(r^{-1}\)
เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ
\(r=\{(x,y)\in R \times R | y=x+5\}\)
\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | x=y+5\}\) \(\quad\) จัดสมการนิดหนึ่ง
\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | y=x-5 \}\)
\(D_{r} \in R\) จะเห็นว่าเราสามารถนำตัวเลขอะไรก็ได้ไปแทนใน x แสดงว่าโดเมนต้องเป็นจำนวนจริงใดๆ
\(R_{r} \in R\) เรนจ์ของก็เป็นจำนวนจริงใดๆก็ได้ เพราะเมื่อแทนค่า x ลงไปในสมการเงื่อนไขสามารถหาค่า y ได้
\(D_{r^{1}}\in R\)
\(R_{r^{1}}\in R\)
ตัวอย่าง 5 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\) และ \(r^{-1}\)
เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ
\(r=\{(x,y)\in R \times R | y=\sqrt{x}\}\)
\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | x=\sqrt{y}\}\) \(\quad\) จัดสมการนิดหนึ่ง
\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | y=x^{2}\}\)
หาโดเมนของ r เนื่องจาก x อยู่ในรูทดังนั้นต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์
\(D_{r} =R_{1^{1}}\in [0,\infty)\)
เนื่องจาก
\(\sqrt{x} \geq 0\)
\(y=\sqrt{x} \geq 0\)
ดังนั้น \(R_{r}=D_{r^{-1}} \in [0,\infty )\)
ตัวอย่าง 6 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\) และ \(r^{-1}\)
เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ
\(r=\{(x,y)\in R \times R | xy=1\}\)
\(r_{-1}=\{(x,y)\in R \times R | xy=1\}\)
หาโดเมนของ r ลองจัดสมการให้อยู่ในรูป y เท่ากับ จะได้ว่า
\(y=\frac{1}{x}\)
จะเห็นว่าเกิดเศษส่วนขึ้น นั่นคือ \(x \neq 0\) จึงได้ว่า
\(D_{r} =R_{r^{-1}}=R-\{0\}\)
หาเรนจ์ของ r ลองจัดสมการให้อยู่ในรูป x เท่ากับจะได้ว่า
\(x=\frac{1}{y}\) นั่นคือ \(y\neq 0\) จึงได้ว่าเรนจ์คือ
\(R_{r}=D_{r^{-1}}=R-\{0\}\)
อ่านเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้อีกครับ ตัวผกผันของความสัมพันธ์พอดีว่าเขียนไว้หลายที่ครับ อย่างไรก็ค่อยๆอ่านค่อยๆวิเคราะห์แล้วกันครับขอให้สนุกกับการอ่านครับทุกท่านนักเรียนทุกคน