ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ
จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์ สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2 แบบ
แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้ \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)
แบบที่ 2 ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)
ดูรูปประกอบ
แบบที่ 1
แบบที่ 2
จากรูปความสัมพันธ์ แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน จำไว้เลย
แต่
ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ
ตัวอย่าง 1 ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1) \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\)
เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน
2) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}\)
เป็นฟังก์ชัน
3) \(\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}\)
เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ
4) \(\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}\)
ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1
5) \(\{(2,3),(2,4),(2,5)\}\)
ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ
6) \(\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} \)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)
ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
7) \(\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}\)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{1,2,3,4,5\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี \(\quad\) \( (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
8) \(\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}\) \(\quad\) จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน
นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน