อัตราส่วนตรีโกณมิติเป็นการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกล่าวคือ ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉากและมีความยาวด้านเป็น \(a,b,c\) ดังรูปด้านล่าง
ด้าน \(a\) เรียกว่าด้านตรงข้ามมุม A
ด้าน \(b\) เรียกว่าด้านประชิดมุม A (เป็นด้านที่ติดมุม A)
ด้าน \(c\) เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามมุมฉาก)
ที่นี้เรามาดูความหมายหรือว่านิยามต่างๆของอัตราส่วนตรีโกณมิติซึ่งเขานิยามจากสามเหลี่ยมมุมฉากนี่แหละครับ ก็คือ
อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A (ความจริงเอามุม B ก็ได้นะแต่ไม่เอามุมฉากแล้วแต่ว่าเราจำนำมุมไหนมาพิจารณาแต่ในที่นี้เราพิจารณาโดยใช้มุม A ครับ) ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ \(\frac{a}{c}\) เรียกว่าไซน์ของมุม A หรือเขียนแทนด้วย
\[\sin A=\frac{a}{c}\]
หรือที่เราชอบท่องว่า ไซน์ข้ามฉาก ก็คือเอาความยาวของด้านตรงข้ามมุม A หารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นเอง
อัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ \(\frac{b}{c}\) เรียกว่าโคไซน์ของมุม A หรือเขียนแทนด้วย
\[\cos A=\frac{b}{c}\]
หรือที่เราชอบท่องว่า คอสชิดฉาก ก็คือเอาความยาวของด้านประชิดมุม A หารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวของด้านประชิดมุม A หรือ \(\frac{a}{b}\) เรียกว่าแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนแทนด้วย
\[\tan A=\frac{a}{b}\]
นักคณิตศาสตร์เรียกอัตราส่วนทั้งสามนี้ก็คือ
\[\sin A=\frac{a}{c}\]
\[\cos A=\frac{b}{c}\]
\[\tan A=\frac{a}{b}\]
ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ผมอยากให้พวกเราคนอ่านลองไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีความยาวของของด้านยาวเท่าไรก็ได้และให้มีหนึ่งมุมตั้งชื่อว่าเป็นมุม A ก็ได้มีขนาดเท่ากับ 30 องศา แล้วลองหาค่า
\(\sin A\) หรือว่า \(\sin 30^{\circ}\) ดู ซึ่ง
\[\sin 30^{\circ}=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{1}{2}\]
ไม่ว่าจะวาดความยาวด้านยาวเท่าไรสุดท้ายตัดทอนแล้วจะได้ค่า \(\frac{1}{2}\) เสมอ
นั่นคือ \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\) เสมอครับถึงแม้แต่ละคนจะวาดความยาวของด้านต่างกันก็ตามสุดท้ายตัดทอนแล้วจะเหลือ \(\frac{1}{2}\) ครับ ลองไปวาดดูนะอย่าพึ่งเชื่อผม
ในสมัยกรีกโบราณนักคณิตศาสตร์ผู้เลื่องชื่อท่านหนึ่งซึ่งมีชื่อว่า ทอเลมี(Ptolemy) ผู้ซึ่งว่างงานที่สุดในโลก ได้ทดลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมแหลมขนาดต่างๆดังนี้ \(30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}\) แล้วได้อัตราส่วนตรีโกณมิติที่น่าสนใจดังตารางต่อไปนี้
| functions/angle | \(30^{\circ}\) | \(45^{\circ}\) | \(60^{\circ}\) |
| \(\sin\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\tan\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
ต่อไปเราลองไปทำแบบฝึกหัดกันดูดีกว่าครับ
1. จงหาค่าไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์ของมุม A และมุม B จากรูปต่อไปนี้
1)
วิธีทำ
\(\sin A=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{5}{13}\)
\(\cos A=\frac{ด้านประชิดมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{12}{13}\)
\(\tan A=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านประชิดมุม A}=\frac{5}{12}\)
\(\sin B=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{12}{13}\)
\(\cos B=\frac{ด้านประชิดมุม A}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{5}{13}\)
\(\tan B=\frac{ด้านตรงข้ามมุม A}{ด้านประชิดมุม A}=\frac{12}{5}\)
2. กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก และ a,b,c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C ตามลำดับ
1) ถ้า \(\tan A=\sqrt{2}\) และ \(a=10 \) จงหา \(b\)
วิธีทำ ก่อนทำให้ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดูคร่าวๆครับ
ดูรูปประกอบนะ
\begin{array}{lcl}\tan A &=&\frac{a}{b}\\ \sqrt{2}&=&\frac{10}{b}\\b&=&\frac{10}{\sqrt{2}}\\b&=&5\sqrt{2}\end{array}
2) ถ้า \(\tan B=\frac{1}{4}\) และ \(a=3\) จงหา \(b\)
วิธีทำ ดูรูปข้อ 1) ประกอบนะครับ
\begin{array}{lcl}\tan B&=&\frac{b}{a}\\\frac{1}{4}&=&\frac{b}{3}\\b&=&\frac{3}{4}\end{array}
3) ถ้า \(a=5\) และ \(b=12\) จงหา \(\sin A\)
วิธีทำ เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}\sin A&=&\frac{a}{c}\\&=&\frac{5}{c}\end{array}
จากตรงนี้ไม่สามารถหาค่า \(\sin A\) ต่อได้เนื่องจาก ติดค่า \(c\) เราต้องหาค่าซีโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครับ
จาก
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&a^{2}+b^{2}\\c^{2}&=&5^{2}+12^{2}\\c^{2}&=&169\\c&=&13\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\sin A&=&\frac{a}{c}\\&=&\frac{5}{c}\\&=&\frac{5}{13}\end{array}
ต่อไปมาทำแบบฝึกหัดโจทย์การประยุกต์อัตราส่วนตรีโกณมิติ
1. ต้นไม้ต้นหนึ่งทอดเงายาว 40 เมตร แนวของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดปลายของเงาต้นไม้และยอดต้นไม้ทำมุม 20 องศา กับเงาของต้นไม้ จงหาความสูงของต้นไม้นี้
วิธีทำ แน่นอนโจทย์แบบนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอัตรส่วนตรีโกณมิติแน่นอนเราจะใช้ตัวไหนดี ไซน์ โคไซน์หรือว่าเทนเจนต์ ข้อนี้เขาให้หาความสูงของต้นไม้ ใช่ไหม ถ้าใช้ไซน์ หรือว่า โคไซน์ไม่ได้แน่ะเพราติดตัวแปรสองตัวดังนั้นข้อนี้ใช้ เทนเจนต์ครับจาก ผมให้ต้นไม้สูง y นะครับแล้วแก้สมการหาค่า y
\begin{array}{lcl}\tan 20^{\circ}&=&\frac{y}{40}\\0.36&=&\frac{y}{40}\\y&=&40\times 0.36\\y&=&14.4\end{array}
ดังนั้นต้นไม้นี้สูง 14.4 เมตร
2. ลูกเสือคนหนึ่งต้องการหาความสูงของเสาธงของโรงเรียน ถ้าขณะที่เขามองยอดเสาธงมุมเงยจากระดับสายตาไปยังยอดเสาธงมีขนาด 45 องศา เขายืนอยู่ห่างจากเสาธงเป็นระยะทาง 12 เมตร และความสูงจากพื้นดินถึงระดับตาของเขาเป็น 1.5 เมตร อยากทราบว่า เสาธงสูงเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ใช้เทนเจนต์ครับข้อนี้ ผมให้ y คือความสูงของเสาธงที่ยังไม่รวมกับความสูงของลูกเสือ
\begin{array}{lcl}\tan 45^{\circ}&=&\frac{y}{12}\\1&=&\frac{y}{12}\\y&=&12\\ \end{array}
ข้อนี้ต้องเอาความสูงที่เราได้นี้ไปบวกกับความสูงของลูกเสือคนนี้ก่อนถึงจะเป็นความสูงของเสาธงอย่างแท้จริงครับดังนั้นคำตอบที่ถูกคือ 12+1.5=13.5 เมตร
3. 
กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี \(\hat{C}=90^{\circ}\) และ มุม \(\hat{B}=2\hat{A}\) ถ้า \(AC=4\sqrt{3}\) แล้ว \(AB+BC\) เท่ากับเท่าใด(O-NET 58)
1. \(10\sqrt{2}\) 2. 12 3. \(10\sqrt{3}\) 4.13 5. 16
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ o-net ปี 58 ไม่ยากนะครับแต่โหดตรงที่มี 5 ตัวเลือกเดายากกว่าเดิม 555
มาดูวิธีการทำกันครับข้อนี้ค่อยๆอ่านเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ ไม่ยากครับค่อยๆอ่านวาดรูปประกอบได้ยิ่งดีครับจะได้มองเห็นภาพชัดเจน
จากรูปจะได้
\[\cos A=\frac{4\sqrt{3}}{AB}\] เพราะฉะนั้น
\[AB=\frac{4\sqrt{3}}{\cos A}\quad\quad ....(1)\]
จากรูปจะได้
\[\tan A=\frac{BC}{4\sqrt{3}}\] เพราะฉะนั้น
\[BC=4\sqrt{3}\tan A \quad\quad ....(2)\]
จากสมการด้านบนจะเห็นว่าเราจะหา AB และ BC ยังไม่ได้เพราะติดขนาดของมุม A เราต้องหาขนาดของมุม A ก่อนครับ อย่าลืมนะว่ามุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากับ 180 องศา และโจทย์บอกว่ามุม C มีขนาด 90 องศา นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\ \hat{A}+\hat{B}+90^{\circ}&=&180^{\circ}\\\hat{A}+\hat{B}&=&90^{\circ}\\\hat{A}+2\hat{A}&=&90^{\circ}\\ 3\hat{A}&=&90^{\circ}\\ \hat{A}&=&30^{\circ}\end{array}
ได้ค่าขนาดของมุม A แล้วง่ายแล้วที่นี้หาคำตอบอัตราส่วนตรีโกณมิติข้อนี้ได้แน่ครับ
เนื่องจาก \(\hat{A}=30^{\circ}\)
\[\cos A=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\tan A=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
เอาไปแทนค่า cosA กับ tanA ไปแทนค่าในสมการที่ (1) และ (2) เลยครับเพื่อหาคำตอบออกมาครับ
จากสมการที่ (1)
\begin{array}{lcl}AB&=&\frac{4\sqrt{3}}{\cos A}\\AB&=&\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\AB&=&4\sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\\AB&=&8\end{array}
จากสมการที่ (2)
\begin{array}{lcl}BC&=&4\sqrt{3}\tan A\\BC&=&4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3} \\BC&=&4\end{array}
ดังนั้น โจทย์ให้หา \(AB+BC=8+4=12\) ตอบ
4. 
ชายคนหนึ่งเห็นยอดตึกแห่งหนึ่งด้วยมุมเงย \(45^{\circ}\) เมื่อชายคนนี้เดินเข้าใกล้ตึกอีก 10 เมตร เขาจะมองเห็นยอดตึกด้วยมุมเงย \(60^{\circ}\) ตึกหลังนี้มีความสูงใกล้เคียงกับค่าในข้อใดมากที่สุด
1. 25 เมตร 2. 30 เมตร 3. 35 เมตร 4. 40 เมตร 5. 45 เมตร
วิธีทำ วิธีทำข้อนี้เหมือนเดิมครับให้วาดรูปดูจะเห็นภาพชัดเจนครับ
จากรูปจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\tan 60^{\circ}&=&\frac{y}{x}\\\tan 45^{\circ}&=&\frac{y}{10+x}\end{array}
แทนค่า \(\tan 60^{\circ}\) ด้วย \(\sqrt{3}\) จะได้
\begin{array}{lcl} \sqrt{3}&=&\frac{y}{x}\\y&=&\sqrt{3}x\quad\quad ...(1)\end{array}
และ แทนค่า \(\tan 45^{\circ}\) ด้วย 1 จะได้
\begin{array}{lcl}1&=&\frac{y}{10+x}\\y&=&10+x\quad\quad ...(2)\end{array}
ต่อไปก็แก้ระบบสมการครับเพื่อหาค่า y ครับ
แทน y ด้วย \(\sqrt{3}x\) ใน (2) จะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{3}x&=&10+x\\1.732x&=&10+x\\1.732x-x&=&10\\0.732x&=&10\\x&=&\frac{10}{0.732}\\x&=&13.66\end{array}
แทน x ด้วย 13.66 ใน (2) จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&10+13.66\\&y=&23.66\end{array}
ค่า y ที่เราได้นี้เราต้องนำไปบวกกับความสูงของคนที่มองตึกนี้ด้วย ซึ่งโดยทั่งไปแล้วความสูงของคนไม่เกิน 2 เมตรแน่นอนจึงทำให้ความสูงของตึกอยู่ที่ประมาณ 25.66 ซึ่งใกล้เคียงกับตัวเลือกที่ 1 มากที่สุดครับ
สนับสนุนเว็บไซต์