ความชันของเส้นตรง  ถ้าพูดถึงความชันของเส้นตรงแน่นอนทุกคนต้องนึกถึงความเอียงของเส้นถูกหรือเปล่าครับ เอียงมาก เอียงน้อย  ถ้าใครยังคิดไม่ออก ให้เราลองนึกถึงบันได ถ้าบันไดชันมากๆ ก็จะขึ้นยาก ถูกต้องไหมครับ ที่นี้เรามาดู นิยามในทางคณิตศาสตร์บ้างว่าเขานิยามความชันของเส้นตรงไว้อย่างไรครับ 

บทนิยาม

กำหนดให้ \(l\) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด  \(P_{1}(x_{1},y_{1})\)  และ \(P_{2}(x_{2},y_{2})\)   โดยที่ \(x_{1}\) กับ \(x_{2}\) ต้องไม่เท่ากัน   

ให้  \(m\)  เป็นความชันของเส้นตรง \(l\)  สามารถหา \(m\)  ได้จาก

\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\]

ดูภาพประกอบครับด้านล่างจะได้อ่านนิยามเข้าใจ

   นี่คือนิยามของการหาความชันของเส้นตรงหรือว่าหาค่า \(m\) นั่นเองพยายามอ่านนิยามให้มันเข้าใจในครับ แล้วตรงนิยามเขาบอกว่า \(x_{1} กับ x_{2}\)  ต้องไม่เท่ากัน ลองคิดเองนะครับว่าถ้ามันเท่ากันจะเกิดอะไรขึ้น (ดูรูปประกอบ)  หรือในกรณีที่ \(y_{1}=y_{2}\) ความชันจะเป็นอยางไรลองคิดต่อเองในครับ

  จากนิยามนี้ ก็คือถ้าเรารู้จุดสองจุดบนตรง เราก็จะหาความชัน(m) ของเส้นตรงนั้นได้ครับ

จากสูตรกาหาความชันของเส้นตรงคือ

\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\]  

ถ้าเราลองเอา \(\frac{-1}{-1}\) คูณเข้าทั้งเศษและส่วน จะเห็นว่าลบหนึ่งส่วนลบหนึ่งก็คือ 1 นั่นเองนะครับ ลองเอาคูณเข้าดู  อย่าลืมนะเอา 1 คูณตัวอะไรก็จะได้ตัวนั้นเหมือนเดิมหน้าตาอาจเปลี่ยนแต่ค่าเท่าเดิมจะได้

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\&=&\frac{-1}{-1}\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\&=&\frac{-1(y_{1}-y_{2})}{-1(x_{1}-x_{2})}\\&=&\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\end{array}

จากตรงนี้เราจะเห็นว่า

\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]

เลือกใช้ก้อนไหนก็ได้ครับได้คำตอบเท่ากัน

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ

1. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดต่อไปนี้

1.1 (0,0) และ (2,6)

วิธีทำ  จากสูตร

\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)   แทนค่าลงไปเลย

\(m=\frac{0-6}{0-2}=\frac{-6}{-2}=3\)

หรือใครจะใช้สูตรอีกสูตรก็ได้คำตอบเท่ากัน

\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

\(m=\frac{6-0}{2-0}=3\)

ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

1.2  (5,3) และ (12,7)

วิธีทำ จากสูตร

\(m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)

\(m=\frac{3-7}{5-12}=\frac{-4}{-7}=\frac{4}{7}\)

หรือใครจะใชูสูตรอีกสูตรก็ได้ครับคำตอบเท่ากัน

\(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

\(m=\frac{7-3}{12-5}=\frac{4}{7}\)

1.3 (t+1,s) และ (2t,s-3)

วิธีทำ 

เลือกใช้สูตรไหนก็ได้นะครับไม่ต้องใช้ทั้งสองสูตรเหมือนข้อข้างบนเพราะความชันของเส้นตรงจะออกมาเท่ากันครับ

\(m=\frac{s-(s-3)}{(t+1)-2t}=\frac{3}{1-t}\)

---

2. จงหาค่า x ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่านจุด P และจุด Q มีความชันเท่ากับ m ตามที่กำหนดให้

2.1  P(5,2) และ Q(x,6) ; m=4

วิธีทำ  ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรมาก  โจทย์เขากำหนดจุดสองจุดบนเส้นตรงมาให้และกำหนดความชันของเส้นตรงมาให้ด้วย แล้วให้พิกัดของจุดที่ขาดหายไป  ก็แค่แทนลงไปในสูตรแล้วแก้สมการหาค่า x  ก็จบครับ จากสูตร

\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\end{array}

\begin{array}{lcl}4&=&\frac{2-6}{5-x}\\5-x&=&\frac{-4}{4}\\5-x&=&-1\\-x&=&-1-5\\-x&=&-6\\x&=&6\end{array}

2.2  P(6,-3) และ Q(9,x) ; \(m=\frac{-2}{3}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับ เหมือนข้อ 2.1 แทนค่าลงไปในสูตรได้เลยครับ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\ \frac{-2}{3}&=&\frac{-3-x}{6-9}\\\frac{-2}{3}\times -3&=&-3-x\\2&=&-3-x\\2+3&=&-x\\-x&=&5\\x&=&-5\end{array}

---

3. จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด  \((a,\frac{a}{b})\)  และ  \((b,\frac{b}{a})\)  เมื่อ \(a\neq 0, b\neq 0\)  และ \(a\neq b\)

วิธีทำ  การทำก็ทำเหมือนเดิมครับแต่คำตอบออกมาจะติดตัวแปรก็เท่านั้นเองครับ มาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}{a-b}\\m&=&\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}}{a-b}\\m&=&\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot \frac{1}{(a-b)}\\m&=&\frac{a+b}{ab}\end{array}

---

4. กำหนดให้ P(-6,4) , Q(1,4) , R(-1,-1) , และ S(-8,-1) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจงหาความชันของส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นซึ่งแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน

วิธีทำ การทำข้อนี้ควรวาดภาพประกอบครับจะได้เห็นภาพชัดเจนครับ เรามาหาความชันของเส้นตรงกันเลยครับ ดูภาพประกอบนะ

ตามรูปนะครับ จะเห็นว่าเส้นตรงที่แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆกันคือเส้นสีแดงและเส้นสีเขียว 

เรามาหาความชันของเส้นตรงสีเขียวก่อนครับ ผมให้เส้นตรงสีเขียวนี้มีความชันเป็น  \(m_{1}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{-1-4}{-8-1}\\m_{1}&=&\frac{-5}{-9}\\m_{1}&=&\frac{5}{9}\end{array}

ต่อไปหาความชันของเส้นตรงสีแดง ผมให้เส้นตรงสีแดงมีความชันเป็น  \(m_{2}\) จะได้

\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{-1-4}{-1-(-6)}\\m_{2}&=&\frac{-5}{5}\\m_{2}&=&-1\end{array}

---

5. จงหาความชันและความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุด \(A(2,10)\quad ,B(5,7)\) และ \(C(2,4)\) เป็นจุดยอด

วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะทำให้เห็นภาพชัดเจน

ดูตามรูปเลยนะคับ ให้ \(m_{AB}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AB\)

จะได้ \(m_{AB}=\frac{10-7}{2-5}=-1\)

ให้ \(m_{BC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(BC\)

จะได้ \(m_{BC}=\frac{7-4}{5-2}=1\)

ให้ \(m_{AC}\) แทนความชันของส่วนของเส้นตรง \(AC\)

แต่เนื่องจาก \(AC\) ขนานกับแกน \(Y\) ดังนั้น \(m_{AC}\) ไม่นิยาม

ต่อไปหาความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม ก็ใช้ความรู้ของ ระยะห่างระหว่างจุด

จะได้

\begin{array}{lcl}AB&=&\sqrt{(2-5)^{2}+(10-7)^{2}}\\&=&3\sqrt{2}\\\\BC&=&\sqrt{(5-2)^{2}+(7-4)^{2}}\\&=&2\sqrt{2}\\\\AC&=&\sqrt{(2-2)^{2}+(10-4)^{2}}\\&=&6\end{array}

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีด้าน \(AB\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(-1\)

มีด้าน \(BC\) ยาว \(3\sqrt{2}\) หน่วย และมีความชัน \(1\) และมีด้าน \(AC\) ยาว \(6\) หน่วยและไม่นิยามความชัน

---

6. กำหนดให้ \(A(-6,-2),\quad B(2,-2),\quad C\) และ \(D\) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน \(AB\) เป็นฐานที่ยาวเป็น 2 เท่าของด้านคู่ขนาน \(DC\) มีมุม \(A\) เป็นมุมฉาก และมีพื้นที่ \(24\) ตารางหน่วย จงหาความชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของด้าน \(BC\)

วิธีทำ อ่านโจทย์แล้ววาดรูปดู เพื่อให้เราเห็นภาพและง่ายต่อการแก้โจทย์คับ ซึ่งถ้าอ่านโจทย์เราจะได้รูปออกมา 2 แบบนะคับ สาเหตุที่ได้รูปออกมา 2 แบบ ก็เพราะว่าด้าน \(CD\) นี้อาจจะอยู่ข้างบน หรือ อยู่ข้างล่างด้าน \(AB\) ก็ได้คับ

ถ้าเราดูดีๆ เราจะเห็นว่า ความยาวของด้าน \(AB\) เท่ากับ 8 ใช้ความรู้เกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในการหา หรือดูจากรูปก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า ความยาวของด้าน \(CD\) เท่ากับ 4  ใช่ไหมดูโจทย์ด้วยนะ จึงได้รูปออกมา แบบนี้ ผมเรียกว่าแบบที่ 1 แล้วกันคับ

ดูรูปประกอบนะคับจะได้ไม่งง

จากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เท่ากับ 24  จำสูตรในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูได้ไหม

พท.สี่เหลี่ยมคางหมู = \(\frac{1}{2}\) คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน คูณสุง

จะได้

\begin{array}{lcl}24&=&\frac{1}{2}\times (8+4)\times AD\\AD&=&4\end{array}

ความยาวของด้าน \(AD\) นี้ทำให้เรารู้พิกัดของจุด \(C\) จริงไหม ดูรูปประกอบดีนะคับ เข้าใจรูปจะเข้าใจทุกอย่างเลยโดยไม่ต้องใช้สูตรนับจุดเอา ซึ่งทำให้เราได้ว่า จุด \(C\) มีพิกัดเป็น \(C(-2,-6)\)

ดังนั้นเราสามารถหา ความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้ว

ให้ \(m_{BC}\) เป็นความชันของส่วนเส้นตรง \(BC\) จะได้

\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{-2-(-6}{2-(-2)}\\&=&\frac{4}{4}\\&=&1\end{array}

ต่อไป ไปดูรูปแบบที่ 2

พอเราได้รูปแบบที่ 1 แล้ว รูปแบบที่ 2 ก็จะง่ายขึ้นครับจะได้รูปแบบนี้ พวกความยาวก็เท่าเดิมนะ แค่สลับด้าน \(AD\) ขึ้นไปข้างบน

จึงทำให้เราได้พิกุด \(C(-2,2)\) เท่านี้เราก็หาความชันของด้าน \(BC\) ได้แล้วครับ หาเลยคับ

\begin{array}{lcl}m_{BC}&=&\frac{(2-(-2))}{(-2-2)}\\&=&\frac{4}{-4}\\&=&-1\end{array}

ดังนั้น ข้อนี้เวลาตอบ ต้องตอบให้ครบนะคับความชันที่เป็นไปได้ของด้าน \(BC\) คือ \(1\) หรือ \(-1\) 

ข้อแบบถ้าวาดรูปเป็นช่วยได้เยอะเลยคับ