่วันนี้เช่นเคยครับยังอยู่ที่เนื้อหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งวันนี้เราจะมาหาค่าของ ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด กันครับมาดูทฤษฎีกันเลยครับ
ทฤษฎีบท ระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(Ax+By+C=0\) กับจุด \((x_{1},y_{1})\) คือ
\[d=\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\]
ค่อยๆอ่านนะครับไม่ยาก ส่วนการพิสูจน์ทฤษฎีใครอยากรู้วิธีการพิสูจน์การหาอ่านได้ตามหนังสือ สสวท. ได้ครับไม่ยาก แต่ในระดับนี้ถ้าอ่านพิสูจน์ไม่เข้าใจก็ให้จำทฤษฎีบทไปใช้ได้เลยครับ ก็เป็นการแทนค่าลงไปในสูตรง่ายๆครับไม่มีอะไรยุ่งยาก มาลองทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหาระยะห่างระหว่างกราฟของสมการกับจุดที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1.1 \(6x-8y+4=0\quad , (2,-3)\)
วิธีทำ ดูจากสูตรข้างบนเลยนะคับ จะได้ \(A=6,B=-8,C=4,x_{1}=2,y_{1}=-3\)
แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับ จากสูตร
\begin{array}{lcl}d&=&\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\d&=&\frac{|(6)(2)+(-8)(-3)+4|}{\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}}\\d&=&\frac{|12+24+4|}{\sqrt{36+64}}\\d&=&\frac{|40|}{\sqrt{100}}\\d&=&\frac{40}{10}\\d&=&4\end{array}
1.2 \(2x+3y=13,\quad (0,0)\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องระวังนิดหนึ่งครับ ต้องจัดสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปของ
\[Ax_{1}+By_{1}+C=0\] ก่อนครับ
จาก
\begin{array}{lcl}2x+3y&=&13\\2x+3y-13&=&0\end{array}
จัดสมการเสร็จแล้วครับเมื่อเอาไปเทียบกับสูตรข้างบนจะได้ว่า \(A=2,B=3,C=-13,x_{1}=0,y_{1}=0\)
ต่อไปก็คำนวณหาระยะห่างเลย
\begin{array}{lcl}d&=&\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\d&=&\frac{|(2)(0)+(3)(0)+(-13)|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\\d&=&\frac{|-13|}{\sqrt{13}}\\d&=&\frac{13}{\sqrt{13}}\end{array}
1.3 \(y=1\quad (-1,1)\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำตามสูตรจะยุ่งยากแต่ทำได้เช่นกัน วิธีที่ง่ายคือลองวาดรูปดูครับ วาดรูปสมการเส้นตรง \(y=1\) และจะเห็นว่าจุด (-1,1) เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรง \(y=1\) ดังนั้นระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(y=1\) กับจุด (-1,1) จึงเป็น 0 ครับ ดูรูปประกอบครับ