เมทริกซ์เป็นเนื้อหาที่เราจะได้เรียนในชั้น ม.4 ครับ ซึ่งเรื่องนี้มีประโยชน์มากถ้าเรามองดีๆเราสามารถใช้เมทริกซ์ทำเป็นแบบโมเดลในการตัดสินใจอะไรต่างๆได้ครับ ซึ่งเมทริกซ์นั้น ความหมายมัน ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ การนำจำนวนต่างๆมาเขียนในวงแล็บเช่น
\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}
เมทริกซ์แบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์ \(2\times 2\) ความหมายก็คือเมทริกซ์ที่มี สองแถวและมีสองหลัก
\begin{bmatrix}1&3&4\\0&-2&8\end{bmatrix}
เมทริกซ์แบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์ \(2\times 3\) ความหมายก็คือเมทริกซืที่มี สองแถวและสามหลักนั่นเองครับ
นี่คือความหมายของเมทริกซ์ไม่มีอะไรมากก็แค่เอาจำนวนมาเขียนข้างในวงแล็บ ที่นี้เรามาดูความหมายหรือว่านิยามอย่างเป็นทางการของเมทริกซ์กันบ้างครับ
นิยาม เมทริกซ์คือชุดของจำนวน \(mn\) โดย \(m,n \in \mathbb{I^{+}}\) ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว (row) และ n หลัก (column) ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ในรูปแบบ
\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}
เรียก \(a_{ij}\) ว่าเป็นสมาชิกในแถวที่ \(i\) หลักที่ \(j\) ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่าเป็นสมาชิกในตำแหน่งที่ \(ij\) ของเมทริกซ์
เรียกเมทริกซ์ที่มี \(m\) แถว \(n\) หลักว่าเป็น \(m\times n\) เมทริกซ์และเรียก \(m\times n\) ว่ามิติของเมทริกซ์
นี่คือนิยามของเมทริกซ์ในทางคณิตศาสตร์ครับแต่อย่าไปใส่ใจมากครับ อ่านผ่านๆพอเข้าใจ ที่นี้มาดูนิยามอื่นๆที่สำคัญของเมทริกซ์ต่อครับ
นิยาม ให้
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\end{array}
และ
\begin{array}{lcl}ฺB=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\end{array}
\(A=B\) ก็ต่อเมื่อ \(a_{ij}=b_{ij}\) ทุกๆ \(i\in\{1,2,3,...,m\}\) และ \(j\in\{1,2,3,...,n\}\)
ยกตัวอย่างเช่น
กำหนดให้
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}\sin 30^{\circ}&\cos 30^{\circ}\end{bmatrix}\end{array}
จะเห็นว่าที่ตำแหน่ง
\(a_{11}\) ของเมทริกซ์ \(A\) เท่ากับ \(\frac{1}{2}\) และ
\(a_{11}\) ของเมทริกซ์ \(B\) เท่ากับ \(\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\)
และจะเห็นอีกว่าที่ตำแหน่ง
\(a_{12}\) ของเมทริกซ์ \(A\) เท่ากับ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) และ
\(a_{12}\) ของเมทริกซ์ \(B\) เท่ากับ \(\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ถ้าทุกตำแหน่งเท่ากันแบบนี้จะทำให้เมทริกซ์นั้นเท่ากัน ง่ายๆครับนี่คือนิยามการเท่ากันของเมทริกซ์
ต่อไปมาดูนิยามการบวกกันของเมทริกซ์ครับ
นิยาม กำหนดให้
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\end{array}
และ
\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\end{array}
เมทริกซ์ \(A+B\) คือ
\begin{array}{lcl}A+B=\begin{bmatrix}c_{ij}\end{bmatrix}_{m\times n}\end{array}
เมื่อ
\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)
พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ เอาตำแหน่งเดียวกันของแต่ละเมทริกซ์มาบวกกันครับ และจะเห็นอีกว่าเมทริกซ์ที่จะบวกกันได้ต้องมีมิติต้องเท่ากันด้วยครับ
ยกตัวอย่างเช่น
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\end{array}
และ
\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}4\\9\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}A+B&=&\begin{bmatrix}2+4\\3+9\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6\\12\end{bmatrix}\end{array}