ระบบสมการเชิงเส้นหรือภาษาอังกฤษคือ system of linear equations  ความรู้ในเรื่องระบบสมการเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ได้หลายเรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นจะประกอบด้วยสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองสมการขึ้นไปครับ

ในหัวข้อนี้เราจะสนใจวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นครับ ซึ่งเนื้อหาในบทความนี้จะเป็นเนื้อหาที่เหมาะกับ ม.4 ครับเพราะเป็นระบบสมการที่มีตั้งแต่ 3 สมการขึ้นไปซึ่งต่างจากที่เรียนตอน ม.3 ระบบสมการที่เราแก้นั้นมีเพียงแค่ 2 สมการเท่านั้นแต่หลักการในการหาคำตอบก็เหมือนกันครับ ลองไปทำแบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้นครับที่จริงเรื่องนี้จะเกี่ยวกับเมทริกซ์ด้วยเพราะต่อไปเราจะแก้ระบบสมการโดยใช้เมตรทริทซ์ แต่ตอนนี้เอาวิธีธรรมดาก่อนไปดูวิธีการเลยครับ พูดมากเดี๋ยวงง ครับหรือถ้าใครยังไม่แม่นพอแนะนำให้ไปอ่านพื้นฐานของการแก้ระบบสมการของ ม.3 ก่อนครับตามลิงค์ด้านล่าง

ระบบสมการ ม.3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 3

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร(2)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้น

1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ 

1.1) 

\begin{array}{lcl}x+y+z=2\\x+y-z=4\\x+2y+z=4\end{array}

วิธีทำ   ก่อนอื่นตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนครับ

ให้

\(x+y+z=2\)   ชื่อว่าสมการ  (1)

\(x+y-z=4\)  ชื่อว่าสมการ (2)

\(x+2y+z=4\)  ชื่อว่าสมการ (3)

เริ่มแก้ระบบสารเลยครับ  ถ้าลองดูดีๆจะเห็นว่าสมการ (1) กับ (2)  มีตัวแปรเหมือนกันคือ x และ y  ดังถ้าจับสมการสองสมการนี้ลบกันตัวแปร x กับ y ก็จะหายไปเหลือ z ตัวเดียวก็หาค่า z ได้ครับ ดังนั้นจับสมการ (1) กับ (2) มาลบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&2\quad  ...(1)\\x+y-z&=&4\quad ...(2)\\x+2y+z&=&4\quad ...(3)\\ นำ\quad (1)-(2)\quad จะได้ \\(x+y+z)-(x+y-z)&=&2-4\\2z&=&-2\\z&=&-1\end{array}

ได้ค่าของ z แล้วนะ ทีนี้ถ้าเหลือบไปดูสมการ (3) กับ (1) จะเห็นว่ามีตัวแปรเหมือนกันคือ x กับ z  จับสองสมการนี้มาลบกันสองตัวนี้ก็จะหายหาค่า y ได้ใช่ไหมครับ เริ่มทำเลย

นำ (3)-(1)  จะได้

\begin{array}{lcl}(x+2y+z)-(x+y+z)&=&4-2\\y&=&2\end{array}

ตอนนี้เราได้ 

\(z=-1\)

\(y=2\)

นำค่า z และ y ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการไหนก็ได้เพื่อหาค่า x ออกมาครับผมเอาไปแทนในสมการ (1) นะครับจะได้

\begin{array}{lcl}x+2-1&=&2\\x&=1\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((1,2,-1)\)

การแก้ระบบสมการก็ประมาณนี้ครับเอาสมการมาลบ มาบวกกัน หรือบางที่ต้องเอาตัวเลขจากข้างนอกมาคูณเข้าด้วย ต่อไปผมไม่อธิบายละเอียดแล้วนะพยายามสังเกตและลองทำเองครับ


1.2)

\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\\3x+y&=&6\\2x+y&=&1\end{array}

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x+2y-z&=&3\quad ...(1)\\3x+y&=&6\quad ...(2)\\2x+y&=&1\quad ...(3)\end{array}

นำ (2)-(3)  จะได้

\begin{array}{lcl}(3x+y)-(2x+y)&=&6-1\\x&=&5\end{array}

ต่อไปก็เอาค่า x ที่เราได้ไปแทนในสมการ (3) เพื่อหาค่า y  จะได้

\begin{array}{lcl}2(5)+y&=&1\\y&=&-9\end{array}

ตอนนี้ x=5,y=-9 เอาไปแทนในสมการ (1) เพื่อหาค่า z จะได้

\begin{array}{lcl}5+2(-9)-z&=&3\\-13-z&=&3\\-z&=&16\\z&=&-16\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-9,-16)\)


1.3)

\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\\-x+4y+2z&=&-4\\3x-y+2z&=&9\end{array}

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x-3y+z&=&8\quad ...(1)\\-x+4y+2z&=&-4\quad ...(2)\\3x-y+2z&=&9\quad ...(3)\end{array}

ข้อนี้ยากหน่อยก็ลองๆทำครับ ทำเรื่อยๆเดี่ยวก็ชำนาญเองครับ

นำ (3)-(2)  จะได้

\begin{array}{lcl}(3x-y+2z)-(-x+4y+2z)&=&9-(-4)\\4x-5y&=&13\quad ...(4)\end{array}

นำ \(2\times (1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}4x-6y+2z&=&16\quad ...(5)\end{array}

จะเห็นว่าหลังจากเอา 2 คูณสมการ (1) จะเกิดพจน์ 2z ต่อไปดูนะผมจะเอาสมการ (5)-(3) จะได้

\begin{array}{lcl}(4x-6y+2z)-(3x-y+2z)&=&16-9\\x-5y&=&7\quad ...(6)\end{array}

สังเกตสมการ (6) กับสมการ (4) นะมีพจน์ -5y เหมือนกันถ้าจับมาลบกันก็จะได้

\begin{array}{lcl}(4x-5y)-(x-5y)&=&13-7\\3x&=&6\\x&=&2\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า x  แล้วนะครับ นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการ (4) หรือ (6) ก็ได้เพื่อหาค่า y ออกมาครับผมเอาไปแทนใน (6) แล้วกันครับก็จะได้

\begin{array}{lcl}2-5y&=&7\\-5y&=&5\\y&=&-1\end{array}

ตอนนี้ได้ x=5,y=-1 ต่อไปหาค่า z ครับ เอาค่า x กับ y ที่เราหาได้ไปแทนในสมการ (1),(2),(3)  หรือ (5)  สมการไหนก็ได้ผมเลือกแทนในสมการง่ายๆคือสมการ (1) ก็จะได้

\begin{array}{lcl}2(5)-3(-1)+z&=&8\\10+3+z&=&8\\z&=&8-13\\z&=&-5\end{array}

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \((5,-1,-5)\)

ข้อนี้พยายามคิดตามนะครับว่าทำไปต้องเอาสมการนี้มาลบกับสมการนี้ ทำไมต้องเอาเลขนี้มาคูณสมการนี้ทุกอย่างมีเหตุผลนะครับลองๆคิดตามครับ ต้องฝึกทำเยอะๆครับ


1.4) \begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\\x+y+2z+2t&=&6\\2y+5z+2t&=&5\\x+y+3z+4t&=&1\end{array}

วิธีทำ ข้อนี้มี 4 สมการเลยครับค่อยๆดูวิธีการทำนะครับ

\begin{array}{lcl}2x+2y+3z+2t&=&11\quad ...(1)\\x+y+2z+2t&=&6\quad ...(2)\\2y+5z+2t&=&5\quad ...(3)\\x+y+3z+4t&=&1\quad ...(4)\end{array}

นำ \(2\times (2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}2x+2y+4z+4t&=&12\quad ...(5)\end{array}

นำ \((5)-(1)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}z+2t&=&1\end{array}

นำ \(2\times (4)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2x+2y+6z+8t&=&2\quad ...(7)\end{array}

นำ \((7)-(1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}3z+6t&=&-9\\z+2t&=&-3\quad ...(8)\end{array}

สังเกตสมการ \((6)\)  กับ สมการ \((8)\) ก็คือ

\(z+2t=1\)

\(z+2t==3\)

เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถหาค่า \(z\) และ \(t\)  ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกันดังนั้นระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ

Pin It