วันนี้เรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับโจทย์เมทริกซ์เริ่มทำกันที่ข้อง่ายๆกันก่อนครับ สำหรับใครที่ยังไม่นิยามเกี่ยวกับการบวก การคูณเมทริกซ์การให้ไปอ่านทำความเข้าใจก่อนนะครับก่อนที่จะทำโจทย์เมทริกซ์ครับ เริ่มกันเลย
แบบฝึกหัดโจทย์เมทริกซ์
1.กำหนดเมทริกซ์ \(A,B,C,D,E\) ดังนี้
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\\C=\begin{bmatrix}3&-1&3\\4&1&0\\2&1&3\end{bmatrix}\\D=\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\\E=\begin{bmatrix}2&-4&5\\1&1&-1\\2&2&0\end{bmatrix}\end{array}
จงหาค่าของ
\begin{array}{lcl}&1)& 2C-3E\\&2)&AB\quad ,BA\\&3)&AB+D^{2}\end{array}
\( 1)\quad 2C-3E\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2C-3E&=&2\begin{bmatrix}3&-1&3\\4&1&0\\2&1&3\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}2&-4&5\\1&1&-1\\2&2&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&-2&6\\8&2&0\\4&2&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&-12&15\\3&3&-3\\6&6&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0&10&-9\\5&-1&3\\-2&-4&6\end{bmatrix}\end{array}
\(2)\quad AB,BA\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5&2\\13&6\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}BA&=&\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&2&0\\4&8&1\\7&14&2\end{bmatrix}\end{array}
\(3)\quad AB+D^{2}\)
วิธีทำ
หา \(D^{2}\) ครับเพราะ \(AB\) เราหาไว้แล้ว จะได้
\begin{array}{lcl}D^{2}&=&\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5&-6\\6&-4\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}AB+D^{2}&=&\begin{bmatrix}5&2\\13&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&-6\\6&-4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}10&-4\\19&2\end{bmatrix}\end{array}
2. ให้ \(a,b,c,d \) เป็นจำนวนจริง
ถ้า
\(3\begin{bmatrix}5^{a}&b\\2^{c}&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5^{a}&6\\d-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&5^{a}+b\\2^{c}&2d\end{bmatrix}\)
แล้วค่าของ \(b+c\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}3\begin{bmatrix}5^{a}&b\\2^{c}&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5^{a}&6\\d-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&5^{a}+b\\2^{c}&2d\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3\cdot 5^{a}&3b\\3\cdot 2^{c}&3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5^{a}+4&6+5^{a}+b\\d-1+2^{c}&3+2d\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\[\color{red}{3\cdot 5^{a}=5^{a}+4\quad\cdots (1)}\]
\[\color{green}{3b=6+5^{a}+b\quad\cdots (2)}\]
\[\color{blue}{3\cdot 2^{c}=d-1+2^{c}}\quad\cdots (3)\]
\[\color{pink}{3d=3+2d\quad\cdots (4)}\]
ต่อไปพิจารณาแต่ละสมการที่เราได้นะคับ
จากสมการ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3\cdot 5^{a}&=&5^{a}+4\\3\cdot 5^{a}-5^{a}&=&4\\(3-1)5^{a}&=&4\\2\cdot 5^{a}&=&4\\5^{a}&=&\frac{4}{2}\\\color{red}{5^{a}}&=&2\end{array}
แทน \(\color{red}5^{a}=2\) ในสมการ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3b&=&6+5^{a}+b\\3b&=&6+2+b\\3b-b&=&8\\2b&=&8\\\color{redd}{b}&=&4\end{array}
จากสมการ \((4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3d&=&3+2d\\3d-2d&=&3\\\color{red}{d}&=&3\end{array}
แทน \(\color{red}d=3\) ในสมการ \((3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3\cdot 2^{c}&=&d-1+2^{c}\\3\cdot 2^{c}&=&3-1+2^{c}\\3\cdot 2^{c}-2^{c}&=&2\\(3-1)2^{c}&=&2\\2\cdot 2^{c}&=&2\\2^{c}&=&1\\so\\c&=&0\end{array}
ดังนั้นจะได้ว่า \(b+c=4+0=4\quad\underline{Ans}\)
3. ถ้า \(\begin{bmatrix}1&a\\1&1\end{bmatrix}^{t}-2\begin{bmatrix}-1&b\\c&-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(a,b,c,d\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&a\\1&1\end{bmatrix}^{t}-2\begin{bmatrix}-1&b\\c&-4\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1&1\\a&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&-2b\\-2c&8\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1+2&1-2b\\a-2c&1+8\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\quad\color{red}{\cdots (1)}\end{array}
จากสมการที่ \(\color{red}{(1)}\) จะได้ว่า
\[c=3\]
และ
\[3d=9\Rightarrow \quad d=3\]
และ
\begin{array}{lcl}1-2b&=&c-d\\1-2b&=&3-3\\1-2b&=&0\\-2b&=&-1\\b&=&\frac{1}{2}\end{array}
และ
\begin{array}{lcl}a-2c&=&b+d\\a-2(3)&=&\frac{1}{2}+3\\a-6&=&3.5\\a&=&9.5\end{array}
ดังนั้น
\(a=9.5\\b=\frac{1}{2}\\c=d=3\)
4. กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}\) ค่าของ \(det[A(B+C)]\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เนื่องจาก \(A(B+C)=AB+AC\)
หา \(AB\)
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&5\\-4&11\end{bmatrix}\end{array}
หา \(AC\)
\begin{array}{lcl}AC&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-1&4\\-3&8\end{bmatrix}\end{array}
หา \(AB+AC\)
\begin{array}{lcl}AB+AC&=&\begin{bmatrix}-2&5\\-4&11\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1&4\\-3&8\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-3&9\\-7&19\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}det[A(B+C)]&=&det[AB+AC]\\&=&det\begin{bmatrix}-3&9\\-7&19\end{bmatrix}\\&=&(-3)(19)-(-7)(19)\\&=&6\end{array}
5. กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\) และ
\(C=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\) ค่าของ \(det(2A^{t}+BC+B^{t}C)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}A^{t}&=&\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}\\so\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}0&0\\2&2\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}C^{2}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&-3\\0&4\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}BC^{2}&=&\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-3\\0&4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\\B^{t}C&=&\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(2A^{t}+BC^{2}+B^{t}C)&=&\begin{bmatrix}0&0\\2&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\\so\\det(2A^{t}+BC^{2}+B^{t}C)&=&det\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\\&=&(2)(1)-(3)(0)\\&=&2\quad\underline{Ans}\end{array}
6. ให้ \(x,y,z\) และ \(w\) สอดคล้องกับสมการ
\(\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-1\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2y&-1\\z&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\)
ค่าของ \(4w-3z+2y-x\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-1\\0&y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2y&-1\\z&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}x&-1\\-x&1+wy\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2y+1&-w\\z-2&2w\end{bmatrix}\quad\cdots \color{red}{(1)}\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x&=&2y+1\quad\cdots (2)\end{array}
\begin{array}{lcl}-1&=-w\\w&=&1\quad\cdots (3)\end{array}
\begin{array}{lcl}-x&=&z-2\\x&=&2-z\quad\cdots (4)\end{array}
\begin{array}{lcl}1+wy&=&2w\\2w-wy&=&1\quad\cdots (5)\end{array}
แทน \(w=1\) ลงในสมการที่ \((5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2w-wy&=&1\\2(1)-(1)y&=&1\\2-y&=&1\\y&=&1\end{array}
แทน \(y=1\) ลงในสมการที่ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&2y+1\\x&=&2(1)+1\\x&=&3\end{array}
แทน \(x=3\) ลงในสมการที่ \((4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&2-z\\3&=&2-z\\z&=&2-3\\z&=&-1\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(w,z,x,y\) หมดแล้ว ไปหาคำตอบกันเลย จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}4w-3z+2y-z&=&4(1)-3(-1)+2(1)-(-1)\\&=&4+3+2+1\\&=&10\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปเป็นโจทย์เมทริกซ์จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. นะคับจะยกมาให้ดูเป็นบางข้อ
1. จงหา \(x,y\) และ \(z\) ที่ทำให้
\(3\begin{bmatrix}y&-z\\-1&2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}x&y\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}3\begin{bmatrix}y&-z\\-1&2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}x&y\\1&2\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3y&-3z\\-3&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2x&2y\\2&4\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3y-2x&-3z-2y\\-5&2\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\end{array}
จากเมทริกซ์ข้างบนที่เราจัดรูปมา เราจะเห็นว่า
\(z=2\)
\(3y-2x=-4\quad\cdots (1)\)
\(-3z-2y=2\quad\cdots (2)\)
เมื่อเราแทน \(z=2\) ในสมการที่ \((2)\) เราจะได้ \(y=4\)
และแทน \(y=4\) ในสมการที่ \((1)\) เราจะได้ \(x=8\)
2. จงหา \(x\) และ \(y\) ที่ทำให้
\(x\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}-2y\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}-2y\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x&-2x\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4y&-2y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-4y&-2x+2y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ข้างบนเราจะได้ว่า
\(x-4y=-2\quad\cdots (1)\)
\(-2x+2y=-2\quad\cdots (2)\)
เราต้องแก้ระบบสมการนี้เพื่อหาคำตอบ
นำ \(-2\times (1)\) จะได้ \(-2x+8y=4\quad\cdots (3)\)
นำ \((2)-(3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(-2x+2y)-(-2x+8y)&=&-2-4\\-2x+2y+2x-8y&=&-6\\-6y&=&-6\\y&=&1\end{array}
แทน \(y=1\) ใน \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-4(1)&=&-2\\x-4&=&-2\\x&=&-2+4\\x&=&2\end{array}
3. จงหา \(a,b,c\) และ \(d\) ที่ทำให้
1)
\(\begin{bmatrix}1&-3\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&-3\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a-3b\\0+2b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ด้านบนเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}
และ
\(a-3b=-1\quad\cdots (*)\)
แทน \(b=1\) ใน \((*)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}a-3b&=&-1\\a-3(1)&=&-1\\a-3&=&-1\\a&=&-1+3\\a&=&2\end{array}
2)
\(\begin{bmatrix}5&5\\-6&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}5&5\\-6&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a+5b\\-6a-4b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ข้างบนเราจะได้ว่า
\(5a+5b=5\quad\cdots (1)\)
\(-6a-4b=4\quad\cdots (2)\)
เรามาแก้ระบบสมการนี้กันคับ
นำ \(6\times (1)\) จะได้ \(30a+30b=30\quad\cdots (3)\)
นำ \(5\times (2)\) จะได้ \(-30a-20b=20\quad\cdots (4)\)
นำสมการ \((3)+(4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}10b&=&50\\b&=&5\end{array}
แทน \(b=5\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}5a+5b&=&5\\5a+5(5)&=&5\\5a+25&=&5\\5a&=&5-25\\5a&=&-20\\a&=&-4\end{array}