-
การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สองคูณสอง
การหาดิเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สองคูณสอง เมทริกซ์สองคูณสองจะหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ไม่ยากครับ สมมติผมมีเมทริกซ์ A ซึ่งเป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\)
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{array}
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A หรือว่า \(det(A)\) จะมีค่าเท่ากับดังนี้
\[det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
ไปดูตัวอย่างประกอบกันครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ต่อไปนี้
1)
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}
วิธีทำ จะเห็นว่า
\(a_{11}=1\)
\(a_{12}=2\)
\(a_{21}=3\)
\(a_{22}=4\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}det(A)&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=&(1)(4)-(2)(3)\\&=&4-6\\&=&-2\end{array}
ตอบ \(det(A)=-2\)
2)
\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}-3&-4\\5&6\end{bmatrix}\end{array}
วิธีทำ จะเห็นว่า
\(a_{11}=-3\)
\(a_{12}=-4\)
\(a_{21}=5\)
\(a_{22}=6\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}det(B)&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=&(-3)(6)-(-4)(5)\\&=&-18-(-20)\\&=&-18+20\\&=&2\end{array}
ตอบ \(det(B)=2\)
ต่อไป ลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมที่เป็นข้อสอบแข่งขันครับ
1. ให้ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\0&3\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}-2&0\\x&1\end{bmatrix}\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(det(B^{-1}A)=-6\) แล้วค่า \(x\) เท่ากับเท่าใด
- -4
- -1
- 1
- 4
- 9
วิธีทำ
ข้อนี้ต้องใช้สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ นะคับใครจำสมบัติไม่ได้ก็ไปอ่านตามลิงก์ก่อนคับผม เริ่มทำเลยคับ
\begin{array}{lcl}det(B^{-1}A)&=&-6\\det(B^{-1})det(A)&=&-6\\\frac{1}{det(B)}det(A)&=&-6\quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ก่อน ต่อไปก็เราต้องไปหา \(det(A)\) กับ \(det(B)\) จากเมทริกซ์ที่โจทย์กำหนดให้ครับ
จากโจทย์จะได้ว่า
\(det(A)=(3)(x)-(0)(-1)=3x\)
\(det(B)=(-2)(1)-(0)(x)=-2\)
เอาไป \(det(A)\) และ \(det(B)\) แทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{1}{det(B)}det(A)&=&-6\\\frac{3x}{-2}&=&-6\\x&=&\frac{(-6)(-2)}{3}\\x&=&4\end{array}
2. ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์ \(3\times 3\) ซึ่ง \(det(2A)=24\) แล้ว \(det(A^{-1}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{1}{13}\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(3\)
- \(6\)
- \(12\)
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ ใครที่จำสมบัติของสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ได้ ก็จะทำได้ง่ายๆครับใช้สมบัติข้อนี้คือ
\(det(cA)=c^{n}det(A)\) เมื่อ \(n\) คือมิติของเมทริกซ์ \(A\) เริ่มทำกันเลยคับผม
\begin{array}{lcl}det(2A)&=&24\\2^{3}det(A)&=&24\\8det(A)&=&24\\det(A)&=&\frac{24}{8}\\det(A)&=&3\end{array}
เนื่องจาก
\(det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}det(A^{-1})&=&\frac{1}{\frac{1}{3}}\\&=&3\end{array}
3. ถ้า \(A=\begin{bmatrix}2&1\\3&5\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}4&-1\\-2&2\end{bmatrix}\) แล้ว \(det(AB^{-1})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(-98\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(1\)
- \(2\)
- \(98\)
วิธีทำ
ข้อนี้เราหา \(det(A)\) และ \(det(B)\) รอไว้เลยคับ จากโจทย์จะได้ว่า
\(det(A)=(2)(5)-(1)(3)=7\)
\(det(B)=(4)(2)-(3)(-2)=8-(-6)=8+6=14\) ดังนั้น
\(det(B^{-1})=\frac{1}{14}\)
เริ่มหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}det(AB^{-1})&=&det(A)det(B^{-1})\\&=&(7)\times \frac{1}{14}\\&=&\frac{1}{2}\end{array}
-
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์
-
ประเภทเมทริกซ์
วันนี้จะกล่างถึงประเภทต่างๆของเมทริกซ์ ซึ่งมีหลายประเภทมากๆจำเป็นต้องเรียนรู้เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนเนื้อหาในระดับที่สูงๆขึ้นไป เราไปดูกันเลยว่ามี เมทริกซ์อะไรบ้าง
ก่อนที่จะรู้จักประเภทของเมทริกซ์มาดูนิยามของ เมทริกซ์ กันก่อนครับ
Definition In mathematics , a matrix is a rectangular array of mumber such as
\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&5\\6&19\\4&8\end{bmatrix},\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix} \)
ข้างบนเป็นนิยามของเมทริกซ์ในภาษาอังกฤษ ถ้าแปลเป็นภาษาชาวบ้านให้เข้าใจง่ายๆ
เมทริกซ์คือ จำนวนต่างๆที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม เช่น
\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix} หรือ
\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix}
เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ใช้สัญลักษณ์ \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\) แทนเมทริกซ์ศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติต่างๆ เช่น
\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวและในแต่ละหลักเท่ากัน เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\4&7\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\) ก็คือมี 2 แถวและ 2 หลัก เท่ากัน
\(\begin{bmatrix}3&1&1\\6&4&1\\9&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\) ก็คือมี 3 แถวและ 3 หลักเท่ากัน
เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ทุกตัว เช่น
\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix) แบ่งออกเป็น
เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เช่น
\(\begin{bmatrix}2&3&4\\0&2&8\\0&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เช่น
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\2&3&0\\3&4&3\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
ไดอาโกนัลเมทริกซ์ (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์ สมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์หมด เช่น
\(\begin{bmatrix}3&0\\0&4\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)
\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&8\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)
\(\begin{bmatrix}8&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&8&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}\) มีมิติ \(4\times 4\)
เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์ที่สลับที่ในระหว่างแถวกับหลักที่สมนัยกันแล้วยังคงเป็นเมทริกซ์เดิม เช่น
\(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (37)
37. กำหนดให้ \(\begin{bmatrix}1&-1\\-\frac{3}{2}&2\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\end{bmatrix}\) แล้ว \(det[5(A^{-1}+B^{t})]\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ หา \(A^{-1}\) ก่อนครับ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(2)(1)-(-1)(-\frac{3}{2})}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}
ต่อไปหา \(B^{t}\)
\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}A^{-1}+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-\frac{1}{2}\\\frac{11}{4}&\frac{3}{2}\end{bmatrix}\\so\\det(A^{-1}+B^{t})&=&(2)(\frac{3}{2})-(\frac{11}{4})(-\frac{1}{2})\\&=&3+\frac{11}{8}\\&=&\frac{35}{8}\end{array}
ต่อไปก็ไปหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}det[5(A^{-1}+B^{t})]&=&5^{2}det(A^{-1}+B^{t})\\&=&25\times \frac{35}{8}\\&=&\frac{875}{8}\\&=&109.375\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (38)
38. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมตริกซ์มิติ \(3\times 3\)
ถ้า \(det(A)=-3\) และ
\(A^{t}B-2A^{t}C^{t}=-3A^{-1}\)
แล้ว \(det(2C-B^{t})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -3
- -1
- 1
- 3
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สมบัติของทรานโพส และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ คือ
\((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)
\((A-B)^{t}=A^{t}-B^{t}\)
\(det(cA)=c^{n}det(A)\)
\(det(A^{t})=det(A)\)
\((cA)^{t}=cA^{t}\)
ใช้สมบัติพวกนี้แหละคับ เริ่มทำเลยนะคับ
\begin{array}{lcl}A^{t}B-2A^{t}C^{t}&=&-3A^{-1}\\A^{t}(B-2C^{t})&=&-3A^{-1}\\det[A^{t}(B-2C^{t})]&=&det(-3A^{-1})\\det(A^{t})det(B-2C^{t})&=&(-3)^{3}det(A^{-1})\\det(A)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{det(A)}\\(-3)det(B-2C^{t})&=&(-27)\frac{1}{-3}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{(-3)\times (-3)}\\det(B-2C^{t})&=&\frac{-27}{9}\\det(B^{t}-2C)^{t}&=&-3\\det(B^{t}-2C)&=&-3\\det[-(2C-B^{t})]&=&-3\\(-1)^{3}det(2C-B^{t})&=&-3\\det(2C-B^{t})&=&\frac{-3}{-1}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (39)
39.กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\) โดยที่ \(a,b\) เป็นจำนวนจริง ซึ่ง \(a>b\)
ถ้า \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) และ \(a+b=4\) แล้ว \(det(A+B^{t})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -10
- -7
- 7
- 10
วิธีทำ
ข้อนี้เขากำหนดเมทริกซ์ \(A\) มีให้แล้วหา \(det(A)\) ไว้ก่อนเลย ได้ใช้แน่นอนคับจะได้
\(det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2\)
จาก \(det(AB^{-1})=\frac{2}{5}\) จะได้
\begin{array}{lcl}det(A)det(B^{-1})&=&\frac{2}{5}\\det(A)\frac{1}{det(B)}&=&\frac{2}{5}\\det(B)&=&\frac{5}{2}det(A)\\det(B)&=&\frac{5}{2}\times (-2)\\det(B)&=&-5\quad\cdots (1)\end{array}
เห็นที่โจทย์กำหนดเมทริกซ์ \(B\) ให้ไหมคับ จะได้ \(det(B)=(a)(b)-(1)(0)=ab\) กลับไปดูสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า
\(ab=-5\) ดังนั้นตอนนี้ที่เราได้คือ
\[ab=-5\quad\cdots (2)\]
\[a+b=4\quad\cdots (3)\]
แก้สมการเลยครับ จากสมการที่ \((3)\) จะได้ \(a=4-b\) ต่อไปนำ \(a=4-b\) ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}ab&=&-5\\(4-b)b&=&-5\\4b-b^{2}&=&-5\\-b^{2}+4b+5&=&0\\b^{2}-4b-5&=&0\\(b-5)(b+1)&=&0\\so\\b=5\quad , b=-1 \end{array}
ต่อไปเอาค่า \(b\) ที่เราได้ไปแทนในสมการ \((3)\) จะได้
ถ้า \(b=5\) จะได้ \(a=-1\) อันนี้ใช้ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่า \(a>b\)
ถ้า \(b=-1\) จะได้ \(a=5\) อันนี้ใช้ได้
ทำต่อเลยครับ
จาก \(B=\begin{bmatrix}a&1\\0&b\end{bmatrix}\) แทนค่า \(a\) และ \(b\) ลงไปจะได้
\(B=\begin{bmatrix}5&1\\0&-1\end{bmatrix}\) ดังนั้น
\(Bู^{t}=\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\)
ต่อไปหาค่าของ \(A+B^{t}\) จะได้
\begin{array}{lcl}A+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&0\\1&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&2\\4&3\end{bmatrix}\\so\\det(A+B^{t})&=&(6)(3)-(4)(2)\\&=&10\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (42)
42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)
ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)
โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}
ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}
ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\) และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)
ดังนั้น
\(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (43)
43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\)
ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -6
- 6
- -12
- 12
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}
พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)
\begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}
สิ่งที่ต้องรู้คือ
\(IC=C\)
\(\det I=1\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (44)
44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)
ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 40
- 42
- 80
- 82
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า
\(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)
เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย
\begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}
แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)
ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (52)
51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\) ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร
เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}
จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\)
นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)
-
เอกสารประกอบการสอนเรื่องเมทริกซ์
เอกสารประกอบการสอนเรื่องเมทริกซ์ ของ ครูสุชาดา สมอแก้ว โรงเรียนสามร้อยยอดวิทยา เป็นเอกสารประกอบการเรียนการสอนที่สามารถนำไปใช้เพื่อความสะดวกได้ดีเยี่ยม มีแบบฝึกหัดและตัวอย่างให้ฝึกทำที่หลากหลาย สามารถดูตัวอย่างและดาวน์โหลดด้านล่างเลยครับ สำหรับผมก็เลือก ตัดแปะเอาโดยใช้ good note จากเอกสารของหลายๆท่าน ทำให้เด็กนักเรียนได้ทำแบบฝึกหัดที่หลากหลาย จะได้สนุกเวลาเรียน ของ ครูสุชาดา เป็นเป็นส่วนหนึ่งที่ผมนำไปตัดแปะและสอนในห้องเรียน ขอขอบคุณด้วยครับ
-
โจทย์เมทริกซ์
วันนี้เรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับโจทย์เมทริกซ์เริ่มทำกันที่ข้อง่ายๆกันก่อนครับ สำหรับใครที่ยังไม่นิยามเกี่ยวกับการบวก การคูณเมทริกซ์การให้ไปอ่านทำความเข้าใจก่อนนะครับก่อนที่จะทำโจทย์เมทริกซ์ครับ เริ่มกันเลย
แบบฝึกหัดโจทย์เมทริกซ์
1.กำหนดเมทริกซ์ \(A,B,C,D,E\) ดังนี้
\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\\C=\begin{bmatrix}3&-1&3\\4&1&0\\2&1&3\end{bmatrix}\\D=\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\\E=\begin{bmatrix}2&-4&5\\1&1&-1\\2&2&0\end{bmatrix}\end{array}
จงหาค่าของ
\begin{array}{lcl}&1)& 2C-3E\\&2)&AB\quad ,BA\\&3)&AB+D^{2}\end{array}
\( 1)\quad 2C-3E\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}2C-3E&=&2\begin{bmatrix}3&-1&3\\4&1&0\\2&1&3\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}2&-4&5\\1&1&-1\\2&2&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}6&-2&6\\8&2&0\\4&2&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&-12&15\\3&3&-3\\6&6&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0&10&-9\\5&-1&3\\-2&-4&6\end{bmatrix}\end{array}
\(2)\quad AB,BA\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5&2\\13&6\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}BA&=&\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&2&0\\4&8&1\\7&14&2\end{bmatrix}\end{array}
\(3)\quad AB+D^{2}\)
วิธีทำ
หา \(D^{2}\) ครับเพราะ \(AB\) เราหาไว้แล้ว จะได้
\begin{array}{lcl}D^{2}&=&\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-2\\2&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5&-6\\6&-4\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}AB+D^{2}&=&\begin{bmatrix}5&2\\13&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&-6\\6&-4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}10&-4\\19&2\end{bmatrix}\end{array}
2. ให้ \(a,b,c,d \) เป็นจำนวนจริง
ถ้า
\(3\begin{bmatrix}5^{a}&b\\2^{c}&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5^{a}&6\\d-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&5^{a}+b\\2^{c}&2d\end{bmatrix}\)
แล้วค่าของ \(b+c\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}3\begin{bmatrix}5^{a}&b\\2^{c}&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5^{a}&6\\d-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&5^{a}+b\\2^{c}&2d\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3\cdot 5^{a}&3b\\3\cdot 2^{c}&3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5^{a}+4&6+5^{a}+b\\d-1+2^{c}&3+2d\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\[\color{red}{3\cdot 5^{a}=5^{a}+4\quad\cdots (1)}\]
\[\color{green}{3b=6+5^{a}+b\quad\cdots (2)}\]
\[\color{blue}{3\cdot 2^{c}=d-1+2^{c}}\quad\cdots (3)\]
\[\color{pink}{3d=3+2d\quad\cdots (4)}\]
ต่อไปพิจารณาแต่ละสมการที่เราได้นะคับ
จากสมการ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3\cdot 5^{a}&=&5^{a}+4\\3\cdot 5^{a}-5^{a}&=&4\\(3-1)5^{a}&=&4\\2\cdot 5^{a}&=&4\\5^{a}&=&\frac{4}{2}\\\color{red}{5^{a}}&=&2\end{array}
แทน \(\color{red}5^{a}=2\) ในสมการ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3b&=&6+5^{a}+b\\3b&=&6+2+b\\3b-b&=&8\\2b&=&8\\\color{redd}{b}&=&4\end{array}
จากสมการ \((4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3d&=&3+2d\\3d-2d&=&3\\\color{red}{d}&=&3\end{array}
แทน \(\color{red}d=3\) ในสมการ \((3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3\cdot 2^{c}&=&d-1+2^{c}\\3\cdot 2^{c}&=&3-1+2^{c}\\3\cdot 2^{c}-2^{c}&=&2\\(3-1)2^{c}&=&2\\2\cdot 2^{c}&=&2\\2^{c}&=&1\\so\\c&=&0\end{array}
ดังนั้นจะได้ว่า \(b+c=4+0=4\quad\underline{Ans}\)
3. ถ้า \(\begin{bmatrix}1&a\\1&1\end{bmatrix}^{t}-2\begin{bmatrix}-1&b\\c&-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(a,b,c,d\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&a\\1&1\end{bmatrix}^{t}-2\begin{bmatrix}-1&b\\c&-4\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1&1\\a&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&-2b\\-2c&8\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1+2&1-2b\\a-2c&1+8\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}c&c-d\\b+d&3d\end{bmatrix}\quad\color{red}{\cdots (1)}\end{array}
จากสมการที่ \(\color{red}{(1)}\) จะได้ว่า
\[c=3\]
และ
\[3d=9\Rightarrow \quad d=3\]
และ
\begin{array}{lcl}1-2b&=&c-d\\1-2b&=&3-3\\1-2b&=&0\\-2b&=&-1\\b&=&\frac{1}{2}\end{array}
และ
\begin{array}{lcl}a-2c&=&b+d\\a-2(3)&=&\frac{1}{2}+3\\a-6&=&3.5\\a&=&9.5\end{array}
ดังนั้น
\(a=9.5\\b=\frac{1}{2}\\c=d=3\)
4. กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}\) ค่าของ \(det[A(B+C)]\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เนื่องจาก \(A(B+C)=AB+AC\)
หา \(AB\)
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&5\\-4&11\end{bmatrix}\end{array}
หา \(AC\)
\begin{array}{lcl}AC&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-1&4\\-3&8\end{bmatrix}\end{array}
หา \(AB+AC\)
\begin{array}{lcl}AB+AC&=&\begin{bmatrix}-2&5\\-4&11\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1&4\\-3&8\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-3&9\\-7&19\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}det[A(B+C)]&=&det[AB+AC]\\&=&det\begin{bmatrix}-3&9\\-7&19\end{bmatrix}\\&=&(-3)(19)-(-7)(19)\\&=&6\end{array}
5. กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\) และ
\(C=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\) ค่าของ \(det(2A^{t}+BC+B^{t}C)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}A^{t}&=&\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}\\so\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}0&0\\2&2\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}C^{2}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&-3\\0&4\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}BC^{2}&=&\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-3\\0&4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\end{array}
\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\\B^{t}C&=&\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(2A^{t}+BC^{2}+B^{t}C)&=&\begin{bmatrix}0&0\\2&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\\so\\det(2A^{t}+BC^{2}+B^{t}C)&=&det\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}\\&=&(2)(1)-(3)(0)\\&=&2\quad\underline{Ans}\end{array}
6. ให้ \(x,y,z\) และ \(w\) สอดคล้องกับสมการ
\(\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-1\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2y&-1\\z&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\)
ค่าของ \(4w-3z+2y-x\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-1\\0&y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2y&-1\\z&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&w\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}x&-1\\-x&1+wy\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2y+1&-w\\z-2&2w\end{bmatrix}\quad\cdots \color{red}{(1)}\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x&=&2y+1\quad\cdots (2)\end{array}
\begin{array}{lcl}-1&=-w\\w&=&1\quad\cdots (3)\end{array}
\begin{array}{lcl}-x&=&z-2\\x&=&2-z\quad\cdots (4)\end{array}
\begin{array}{lcl}1+wy&=&2w\\2w-wy&=&1\quad\cdots (5)\end{array}
แทน \(w=1\) ลงในสมการที่ \((5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2w-wy&=&1\\2(1)-(1)y&=&1\\2-y&=&1\\y&=&1\end{array}
แทน \(y=1\) ลงในสมการที่ \((2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&2y+1\\x&=&2(1)+1\\x&=&3\end{array}
แทน \(x=3\) ลงในสมการที่ \((4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&2-z\\3&=&2-z\\z&=&2-3\\z&=&-1\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(w,z,x,y\) หมดแล้ว ไปหาคำตอบกันเลย จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}4w-3z+2y-z&=&4(1)-3(-1)+2(1)-(-1)\\&=&4+3+2+1\\&=&10\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปเป็นโจทย์เมทริกซ์จากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. นะคับจะยกมาให้ดูเป็นบางข้อ
1. จงหา \(x,y\) และ \(z\) ที่ทำให้
\(3\begin{bmatrix}y&-z\\-1&2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}x&y\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}3\begin{bmatrix}y&-z\\-1&2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}x&y\\1&2\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3y&-3z\\-3&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2x&2y\\2&4\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3y-2x&-3z-2y\\-5&2\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-4&2\\-5&z\end{bmatrix}\end{array}
จากเมทริกซ์ข้างบนที่เราจัดรูปมา เราจะเห็นว่า
\(z=2\)
\(3y-2x=-4\quad\cdots (1)\)
\(-3z-2y=2\quad\cdots (2)\)
เมื่อเราแทน \(z=2\) ในสมการที่ \((2)\) เราจะได้ \(y=4\)
และแทน \(y=4\) ในสมการที่ \((1)\) เราจะได้ \(x=8\)
2. จงหา \(x\) และ \(y\) ที่ทำให้
\(x\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}-2y\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}-2y\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x&-2x\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4y&-2y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-4y&-2x+2y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-2&-2\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ข้างบนเราจะได้ว่า
\(x-4y=-2\quad\cdots (1)\)
\(-2x+2y=-2\quad\cdots (2)\)
เราต้องแก้ระบบสมการนี้เพื่อหาคำตอบ
นำ \(-2\times (1)\) จะได้ \(-2x+8y=4\quad\cdots (3)\)
นำ \((2)-(3)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(-2x+2y)-(-2x+8y)&=&-2-4\\-2x+2y+2x-8y&=&-6\\-6y&=&-6\\y&=&1\end{array}
แทน \(y=1\) ใน \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x-4(1)&=&-2\\x-4&=&-2\\x&=&-2+4\\x&=&2\end{array}
3. จงหา \(a,b,c\) และ \(d\) ที่ทำให้
1)
\(\begin{bmatrix}1&-3\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}1&-3\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a-3b\\0+2b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ด้านบนเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}
และ
\(a-3b=-1\quad\cdots (*)\)
แทน \(b=1\) ใน \((*)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}a-3b&=&-1\\a-3(1)&=&-1\\a-3&=&-1\\a&=&-1+3\\a&=&2\end{array}
2)
\(\begin{bmatrix}5&5\\-6&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}5&5\\-6&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a+5b\\-6a-4b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}\end{array}
จากสมการเมทริกซ์ข้างบนเราจะได้ว่า
\(5a+5b=5\quad\cdots (1)\)
\(-6a-4b=4\quad\cdots (2)\)
เรามาแก้ระบบสมการนี้กันคับ
นำ \(6\times (1)\) จะได้ \(30a+30b=30\quad\cdots (3)\)
นำ \(5\times (2)\) จะได้ \(-30a-20b=20\quad\cdots (4)\)
นำสมการ \((3)+(4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}10b&=&50\\b&=&5\end{array}
แทน \(b=5\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}5a+5b&=&5\\5a+5(5)&=&5\\5a+25&=&5\\5a&=&5-25\\5a&=&-20\\a&=&-4\end{array}