วันนี้เราจะมาคุยกันว่าด้วยเรื่องของการคูณเมตริกซ์  การคูณเมตริกซ์นั้นไม่ยุ่งยากเลย แต่ถ้าไปอ่านตามนิยามการคูณเมทริกซ์ในหนังสืออาจจะงง แต่ก็ไม่ใช่ความผิดของหนังสือนะครับเขาต้องเขียนให้ตรงตามหลักการณ์ของโลก แต่วันนี้เราจะไม่สนใจตามนิยามตามหนังสือมากนัก เราจะใช้วิธีการอธิบายแบบบ้านๆในการหาผลคูณของเมตริกซ์กันครับ

หลักการในคูณของเมทริกซ์คือ จับแถวคูณหลักเมื่อคูณกันเสร็จแล้วก็จับมาบวกกันครับ เชื่อว่าถึงตรงนี้ก็ยังงงอยู่ใช่ไหม ต้องดูตัวอย่างแล้วค่อยจำวิธีการเอาไปใช้เลยครับ

ตัวอย่างที่ 1  กำหนด

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}C&=&\begin{bmatrix}11\\12\\13\end{bmatrix}\end{array}

จงหาค่าของ \(AB,BC\) 

วิธีทำ ค่อยๆดูตามนะครับจับแถวคูณหลักเสร็จแล้วก็บวกกันครับ

\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}(1\times 5)+(2\times 8)&(1\times 6)+(2\times 9)&(1\times 7)+(2\times 10)\\(3\times 5)+(4\times 8)&(3\times 6)+(4\times 9)&(3\times 7)+(4\times 10)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5+16&6+18&7+20\\15+32&18+36&21+40\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}21&24&27\\47&54&61\end{bmatrix}\end{array}

เห็นไหมครับจับแถวคูณหลักครับแล้วบวกกันให้เรียบร้อยครับ  ต่อไปหาค่าของ \(BC\) บ้างครับ

\begin{array}{lcl}BC&=&\begin{bmatrix}5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}11\\12\\13\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}(5\times 11)+(6\times 12)+(7\times 13)\\(8\times 11)+(9\times 12)+(10\times 13)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}55+72+91&88+108+130\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}218&326\end{bmatrix}\end{array}

ตัวอย่างที่ 2  กำหนดเมทริกซ์ \(A,B\) ดังนี้

\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\end{array}

จงแสดงให้เห็นว่า \(AB\neq BA\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}(1\times 2)+(2\times -3)&(1\times -1)+(2\times 4)\\(3\times 2)+(2\times -3)&(3\times -1)+(2\times 4)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-4&7\\0&5\end{bmatrix}\end{array}

ต่อไปหาค่าของ \(BA\) บ้างครับแล้วก็ดูว่ามันเท่ากันไหม

\begin{array}{lcl}BA&=&\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}(2\times 1)+(-1\times 3)&(2\times 2)+(-1\times 2)\\(-3\times 1)+(4\times 3)&(-3\times 2)+(4\times 2)\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-1&2\\9&2\end{bmatrix}\end{array}

จากที่เราคูณกันเสร็จแล้วเห็นได้ชัดว่า \(AB\neq BA\)