เมทริกซ์ศูนย์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ครับ เมทริกซ์ศูนย์จะเขียนแทนด้วย \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\)

เราจะสามารถแสดงได้โดยง่ายว่าสำหรับเมทริกซ์ \(A,B,C,\underline{0}\)  ที่มีมิติ \(m\times n\) และ\(c,d\) เป็นค่าคงที่ มีสมบัติต่อไปนี้

\begin{array}{lcl}1.\quad A+B&=&B+A\\2.\quad A+(B+C)&=&(A+B)+C\\3.\quad A+\underline{0}&=&\underline{0}+A&=&\underline{0}\\4.\quad A+(-A)&=&(-A)+A&=&\underline{0}\\5.\quad c(A+B)&=&cA+cB\\6.\quad (c+d)A&=&cA+dA\\7.\quad (cd)A&=&c(dA)\\8.\quad 1A&=&A\\9.\quad 0A&=&\underline{0}\end{array}

ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ศูนย์กันครับ

1. กำหนดให้ \(a,b\) เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับ \(0\) และ

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&b\\0&0&0\end{bmatrix}\end{array}

จงหาจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(A^{n}=\underline{0}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องออกแรงทำหน่อยนะครับเพราะต้องสุ่มหา \(n\) ครับ เริ่มจาก

\(n=2\)   จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A^{2}&=&\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&b\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&b\\0&0&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\neq \underline{0}\end{array}

จะเห็นว่าถ้า \(n=2\) ยกกำลังแล้วไม่เป็นเมทริกซ์ศูนย์ ก็ลองให้ \(n=3\) บ้าง จะได้

\begin{array}{lcl}A^{3}&=&A^{2}A\\&=&\begin{bmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&b\\0&0&0\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\end{array}

เพราะฉะนั้นเราจะได้ว่าจำนวนเต็มบวก \(n\) ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(A^{n}=\underline{0}\) คือ \(n=3\)

2. กำหนดให้

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\end{array}

จงหา

1) เมทริกซ์ \(B\) ทั้งหมดที่ทำให้ \(AB=\underline{0}\)

2) เมทริกซ์ \(C\) ทั้งหมดที่ทำให้ \(CA=\underline{0}\)

วิธีทำ ทำข้อแรกก่อนนะครับ ให้หา

เมทริกซ์ \(B\) ทั้งหมดที่ทำให้ \(AB=\underline{0}\)

ผมกำหนดให้ เมทริกซ์ \(B\)  เป็นดังนี้

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}\end{array}

จากที่โจทย์ให้หาเมทริกซ์ \(B\) ทั้งหมดที่ทำให้ \(AB=\underline{0}\) จึงได้

\begin{array}{lcl}AB&=&\underline{0}\\\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}&=&\underline{0}\\\begin{bmatrix}b_{11}+2b_{21}&b_{12}+2b_{22}\\2b_{11}+4b_{21}&2b_{12}+4b_{22}\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\end{array}

จากการเท่ากันของเมทริกซ์จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}b_{11}+2b_{21}&=&0\\2b_{11}+4b_{21}&=&0\\b_{12}+2b_{22}&=&0\\2b_{12}+4b_{22}&=&0\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}b_{11}&=&-2b_{21}\\b_{12}&=&-2b_{22}\end{array}

เอาพวก \(b_{ij}\) ใดๆที่เราหาได้ไปแทนค่าลงในเมทริกซ์ \(B\) ก็จะได้

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2b_{21}&-2b_{22}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}\end{array}

ส่วนข้อ 2) ทำเองนะครับทำเหมือนข้อที่ 1) เลยครับ