อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ ก็เหมือนกับอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงทั่วๆไปครับ เช่น
อินเวอร์สการคูณของ 2 คือ \(\frac{1}{2}\) เพราะ
\(2\times \frac{1}{2}=1\)
อินเวอร์สการคูณของ \(\frac{1}{5}\) คือ 5 เพราะ
\(\frac{1}{5}\times 5=1\)
***1 เรียกว่าเอกลักษณ์การคูณครับ
เพราะฉะนั้นแล้ว ถ้าผมมีเมทริกซ์ A ซึ่งมีมิติเป็น \(n\times n\) อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ A คือเมทริกซ์ที่นำไปคูณกับ เมทริกซ์ A แล้วได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ จึงเป็นที่มาของนิยามอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์คือ
นิยาม
ให้ \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(n\times n\) ถ้า \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(n\times n\) ที่มีสมบัติว่า
\[AB=BA=I_{n}\]
แล้วจะเรียก \(B\) ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณ(Inverse of matrix) ของ \(A\) และเขียนแทน \(B\) ด้วย \(A^{-1}\)
เนื่องเมทริกซ์มีได้หลายมิติ วันนี้เราจะมาหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่มีมิติ \(2\times 2 \) ก่อนครับ
อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด \(2\times 2\)
ถ้า \(A)\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ซึ่ง
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\end{array}
และ \(ad-bc\neq 0\) แล้วเมทริกซ์ \(A\) จะมีอินเวอร์สซึ่ง
\begin{array}{lcl}A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\end{array}
ลองมาทำแบบฝึกหัดการอินเวอร์สของเมทริกซ์กันครับ
1.จงหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ต่อไปนี้
1.1)
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}\end{array}
วิธีทำ ถ้าเราเทียบกับสูตรการอินเวอร์การคูณของเมทริกซ์ข้างบนจะเห็นว่า
\(a=1\)
\(b=2\)
\(c=0\)
\(d=3\)
ซึ่งจะเห็นว่า \(ad-bc=(1)(3)-(2)(0)=3\neq 0\) ดังนั้นเมทริกซ์นี้มีอินเวอร์สครับ นั่นคือ
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3&-2\\-0&1\end{bmatrix}\end{array}
1.2)
\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}-2&-1\\1&3\end{bmatrix}\end{array}
ซึ่งจะเห็นว่า \(ad-bc=(-2)(3)-(-1)(1)=-5\neq 0\) ดังนั้นเมทริกซ์นี้มีอินเวอร์สครับ นั่นคือ
\begin{array}{lcl}B^{-1}&=&\frac{1}{ab-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{-5}\begin{bmatrix}3&-(-1)\\-1&-2\end{bmatrix}\\&=&-\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3&1\\-1&-2\end{bmatrix}\end{array}
2. ให้ \(A\) และ \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) โดยที่
\begin{array}{lcl}A+B&=&\frac{1}{3}&\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\end{array} และ
\begin{array}{lcl}3A-3B&=&\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&0\end{bmatrix}\end{array}
จงหา \(A^{-1}\) และ \(B^{-1}\)
วิธีทำ กำหนดให้
\begin{array}{lcl}A+B&=&\frac{1}{3}&\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\quad\cdots (1)\end{array}
\begin{array}{lcl}3A-3B&=&\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&0\end{bmatrix}\quad\cdots (2)\end{array}
นำ \(3\times (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3(A+B)&=&3(\frac{1}{3})\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\\3A+3B&=&\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\quad\cdots (3)\end{array}
นำ \((3)+(2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}(3A+3B)+(3A-3B)&=&\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&0\end{bmatrix}\\6A&=&\begin{bmatrix}2&0\\-2&2\end{bmatrix}\\A&=&\frac{1}{6}\begin{bmatrix}2&0\\-2&2\end{bmatrix}\\A&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\end{array}
ตอนนี้เราได้เมทริกซ์ \(A\) แล้วนะครับเก็บเอาไว้ก่อนเพื่อหาค่า \(A^{-1}\) ต่อไป
ทำต่อก็คือหา เมทริกซ์ \(B\) บ้างคับว่ามีหน้าตาเป็นอย่างไร
จาก
\begin{array}{lcl}A+B&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}\end{array}
จะได้
\begin{array}{lcl}B&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}-A\\B&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3&1\\-1&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\B&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\B&=&\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\end{array}
ตอนนี้เราได้เมทริกซ์ \(B\) แล้วต่อไปก็สามารถนำไปสู่การหา \(B^{-1}\) ได้ครับ
เริ่มหา \(A^{-1}\) กับ \(ฺB^{-1}\) กันเลยครับ
หา \(A^{-1}\) ก่อน
จาก
\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\end{array}
จะเห็นว่า \(ad-bc=(\frac{1}{3})(\frac{1}{3})-(0)(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}\neq 0\) ดังนั้นเมทริกซ์นี้หาอินเวอร์สได้ซึ่งอินเวอร์สของมันสามารถหาได้จากสูตรนี้
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{\frac{1}{9}}\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-0\\-(-\frac{1}{3})&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&9\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&0\\3&3\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปหา \(B^{-1}\)
จาก
\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\end{array}
จะเห็นว่า \(ad-bc=(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})-(\frac{1}{3})(0)=\frac{2}{9}\neq 0\) ดังนั้นเมทริกซ์นี้หาอินเวอร์สได้ซึ่งอินเวอร์สของมันสามารถหาได้จากสูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl}B^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\B^{-1}&=&\frac{1}{\frac{2}{9}}\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-0&\frac{2}{3}\end{bmatrix}\\B^{-1}&=&\frac{9}{2}\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\0&\frac{2}{3}\end{bmatrix}\\B^{-1}&=&\begin{bmatrix}\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\\0&3\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์