การใช้สมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมาช่วยในการแก้สมการหรืออสมการเลขยกกำลัง

เนื่องจากฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน \(1-1\) จาก \(R\)   ไปทั่วถึง \(R^{+}\)    ซึ่งโดยสมบัติของ

ฟังก์ชัน \(1-1\) นี้ จะได้ว่า    \(a^{x}=a^{y}\) ก็ต่อเมื่อ \( x=y\)

เราจะใช้คุณสมบัติข้างต้นมาช่วยในการแก้ปัญหาสมการหรืออสมการที่อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง...คับ  มาดูตัวอย่างกันเลย...ดีกว่า

จงหาเซตคำตอบของสมการหรืออสมการต่อไปนี้

1) \(10^{x}=100\)

วิธีการไม่ยากคับ ตามมาดูเลยคับ

\( 10^{x}=10^{2} \)    หนึ่งร้อยคือสิบยกกำลังสองจริงไหม เมื่อฐานเลขยกกำลังของทั้งสองฝั่งของสมการเท่ากันแล้วให้จับเลขชี้กำลังเท่ากันเลย จึงได้ว่า

\(x=2\)

เซตคำตอบของสมการนี้คือ \(\{2\}\)

2) \( 3^{x}=\frac{1}{27}\)

ไม่ยากคับ...ค่อยๆอ่าน

\(3^{x}=\frac{1}{3^{3}}\)  จริงไหมสามยกกำลังสามเท่ากับยี่สิบเจ็ด

\(3^{x}=3^{-3}\)  ต้องใช้สมบัติของเลขยกกำลังน่ะ คือ \(\frac{1}{3^{3}}=3^{-3}\) เมื่อฐานทั้งสองฝั่งของสมการเท่ากันแล้วจับเลขชี้กำลังเท่ากันเลยคับ จะได้ว่า

\(x=-3\)

เซตคำตอบของสมการคือ\(\{-3\}\)

3) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=16\)

วิธีการทำข้อนี้ก็เหมือนข้อที่ผ่านๆมาคับ...พยายามทำฐานของเลขยกกำลังให้เท่ากันคับ...มาดูวิธีการทำกันเลย

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=16\)

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=2^{4}\)   สองกำลังสี่เท่ากับสิบหก

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\)  ใช้สมบัติของเลขยกกำลังน่ะ \(2^{4}=\frac{1}{2^{-4}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\) ฐานเท่ากันแล้วจับเลขชี้กำลังเท่ากันเลยคับ  จะได้

\(x=-4\)

เซตคำตอบของสมการคือ \(\{-4\}\)

4)\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}=64\)

วิธีการทำไม่ยากคับ...พยายามใช้สมบัติของเลขยกกำลังมาช่วยคับที่สำคัญคือต้องทำให้ฐานทั้งสองฝั่งของสมการเท่ากันให้ได้คับ...เริ่มเลย

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}=64\)

\(\left(\frac{1^{2}}{2^{2}}\right)^{x}=4^{3}\)   64 คือ สี่ยกกำลังสามน่ะ

\(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}\)  ฐานทั้งสองฝั่งของสมการเท่ากันแล้วจับเลขชี้กำลังเท่ากันเลยคับ จะได้ว่า

\(x=-3\)
เซตคำตอบของสมการคือ \(\{-3\}\)

5)\(5^{x}\leq 125\)

ถ้าเป็นอสมการ...ก็ไม่ยากคับ...ทำได้คล้ายๆกันกับสมการ...คับ

จาก  \(5^{x}\leq 125\)

พิจารณา...ตัวนี้คับ

\(5^{x}=125\)

\(5^{x}=5^{3}\)   ฐานเท่ากันแล้วจะได้ว่า

\(x=3\)

นั่นคือ จะได้ว่าถ้า \(x=3\) จะทำให้ \(5^{x}=125\) ดังนั้น ถ้าต้องการให้ \(5^{x}\leq 125\)  ค่าของ \(x\) ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ  3 จริงไหมลองคิดตามดูดีๆน่ะ....

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการนี้คือ \(\{x | x \in \mathbb{R},x \in (-\infty,3]\}\)

หรือ ถ้าตอบเป็นช่วงก็คือ x จะอยู่ในช่วงนี้  \( (-\infty,3]\)

Pin It

© 2012 Mathpaper.Net. All Rights Reserved.