ค้นหา

การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วนั้น สามารถหาค่าได้ตามทฤษฎีบทด้งต่อไปนี้

ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(z_{1} \quad และ \quad z_{2}\quad เป็นจำนวนเชิงซ้อน\)

โดยที่

\(z_{1}=r_{1}[cos\theta_{1}+isin\theta_{1}]\)

\(z_{2}=r_{2}[cos\theta_{2}+isin\theta_{2}]\)

จะได้ว่า

1)\(z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]\)

2)\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isin(\theta_{1}-\theta_{2}\right])\)

3) \(\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{r_{1}}\left[cos\theta_{1}-isin\theta_{1}\right]\)

4) \( \overline{z_{1}}=r_{1}\left[cos(-\theta_{1})+isin(-\theta_{1})\right]\)

เป็นทฤษฏีบทเกี่ยวก้บการคูณและการหารของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ซึ่งก็ไม่ยากคับยังไงก็ต้องนำไปใช้ให้เป็นเพราะว่าออกข้อสอบบ่อยมาก เดี่ยวต่อไปเรามาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันคับว่าเป็นอย่างไร

1.จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป x+yi

1.1 \(\left[2\left(cos\frac{11\pi}{6}+isin\frac{11\pi}{6}\right)\right]\left[4\left(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}\right)\right]\)

วิธีทำ ให้ \(z_{1}=\left[2\left(cos\frac{11\pi}{6}+isin\frac{11\pi}{6}\right)\right]\)

จะได้  \(r_{1}=2 , \theta_{1}=\frac{11\pi}{6}\)

ให้ \(z_{2}=\left[4\left(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}\right)\right]\)

จะได้ \(r_{2}=4,\theta_{2}=\frac{4\pi}{3}\)

แทนค่าลงไปในสูตร นี้คับ

\(z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]\)

จะได้

\(z_{1}\cdot z_{2}=(2)(4)\left[cos(\frac{11\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{11\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})\right]\)

\(=8\left[cos(\frac{19\pi}{6}+isin(\frac{19\pi}{6})\right]\)

\(=8\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)\)

\(=-4\sqrt{3}-4i\)

1.2 \(\frac{2(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})}{8(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}}\)

วิธีทำ จะเห็นว่า \(r_{1}=2  \quad ,  r_{2}=8  \quad , \theta_{1}=\frac{\pi}{6} \quad , \theta_{2}=\frac{4\pi}{3}\)

\(=\frac{2}{8}\left[cos(\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{3})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[cos(-\frac{7\pi}{6})+isin(-\frac{7\pi}{6})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[cos(\pi+\frac{\pi}{6})-isin(\pi+\frac{\pi}{6})\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left[-cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\)

\(=\frac{1}{8}\left(-\sqrt{3}+i\right)\)

นี่คือตัวอย่างการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ส่วนการหาร เดี่ยวรอดูเป็นคลิปส่วนใครที่อ่านแล้วไม่เข้าใจก็เขียนคอมเมนต์ถามได้คับ

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com