ค้นหา

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น หรือ ภาษาอังกฤษ คือ Linear Permutation เป็นนำสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนในแนวเส้นตรง ซึ่งก็จะแบ่งการเรียงออกเป็น

  • การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
  • การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่มีสิ่งของบางสิ่งเหมือนกันหรือซ้ำกัน

แต่ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด  มาเริ่มกันเลยครับ

สมมติผมมีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่ิงคือ A,B,C

นำมาจัดเรียงในที่นี้ก็คือนำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นคราวละ 3 สิ่ง ก็จะได้ 6 วิธีที่แตกต่างกันคือ

วิธี 1  คือ A,B,C

วิธี 2 คือ A,C,B

วิธี  3 คือ C,A,B

วิธี 4 คือ C,B,A

วิธี 5 คือ B,C,A

วิธี 6 คือ B,A,C

แต่ถ้าผมหยิบของนำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2  สิ่งก็จะได้ 6 วิธี คือ

วิธี 1 คือ A,B

วิธี 2 คือ A,C

วิธี 3 คือ B,C

วิธี 4 คือ B,A

วิธี 5 คือ C,A

วิธี 6 คือ C,B

****ในเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนเราถือว่า A,B กับ B,A เป็นวิธีการที่แตกต่างกัน

แต่ถ้าผมหยิบของนำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 1 สิ่งก็จะได้ 3 วิธี คือ

วิธี 1  คือ A

วิธี 2 คือ B

วิธี 3  คือ C

 

ทั้งหมดที่ผมยกตัวอย่างคือ concept ของการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น แต่ถ้าเราใช้สูตรในการคำนวณหาวิธีการทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนก็จะใช้สูตร 

                                        \(P_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)     

เมื่อ n คือจำนวนสิ่งของทั้งหมด  และ r คือจำนวนสิ่งของที่หยิบมาเรียงสับเปลี่ยน

ความหมายของสูตรก็คือมีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นำหรือว่าหยิบมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ r  สิ่ง

เช่นถ้าเรา มีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่ง คือ A,B,C 

นำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 3 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด

\(P_{3,3}=\frac{3!}{(3-3)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{3!}{1!}=6\)    วิธี

แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด

\(P_{3,2}=\frac{3!}{(3-2)!}=6\)     วิธี 

แต่ถ้านำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 1 สิ่งก็จะได้วิธีเรียงสับเปลียนทั้งหมด

\(P_{3,1}=\frac{3!}{(3-1)!}=3 \)    วิธี  เท่ากันกับที่ผมได้ยกตัวอย่างไว้ข้างบน

มาดูตัวอย่างแบบฝึกหัดกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 ถ้าจัดให้นักเรียน 3 คน คือ ก ข และ ค ยืนเรียงกันเป็นแนวเส้นตรงจะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ ก็คือการนำสิ่งของแตกต่างกัน 3  สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้

\(P_{3,3}=\frac{3!}{(3-3)!}=3!=6\)  วิธี  

ได้ 6 วิธี แต่ แต่ละวิธีมีหน้าตาเป็นอย่างไรเราไม่สนใจนะครับสนใจเฉพาะจำนวนวิธีเฉยๆ


ตัวอย่างที่ 2  ถ้าจัดลูกบอลที่แตกต่างกัน 5 ลูก ลงในกล่อง 3 ใบที่วางเรียงกันได้กี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้ก็เหมือนหยิงสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนโดยหยิบคราวละ 3 สิ่งดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ

\(P_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!}=60\)   วิธี


ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร A,B,C,D,E,F โดยที่ D,E,F อยู่ติดกัน

วิธีทำ โจทย์แบบนี้ออกบ่อยต้องการให้สิ่งของอยู่ติดกัน เราก็จับสิ่งของที่ต้องการให้ติดกันมัดรวมกันแล้วนับเป็นหนึ่งมัด ฉะนั้นตอนนี้เรามีส่ิงของทั้งหมด 4 สิ่งต่อไปนำสิ่งของเหล่านี้มาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้จำนวนวิธี

คือ \(P_{4,4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24\) วิธี แต่งานยังไม่เสร็จนะ เพราะไอ้ที่เรามัดรวมกันไว้มันสลับที่ภายในมัดได้ก็ต้องไปคำนวณตรงนี้อีก ซึ่งในมัดมีสิ่งของ 3 สิ่งใช่ไหมครับ คือ D,E,Fเอาสิ่งของเหล่านี้มีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเลยก็จะได้จำนวณวิธีทั้งหมด

คือ \(P_{3,3}=6\) วิธี

แล้วนำ มาคูณกันก็จะได้คำตอบ คือ \(24\times 6 =144\)  วิธี

อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งที่ต้องนำมาคูณเพราะข้อนี้เราใช้กฏการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1  คือ นำสิ่งของทั้งหมดมาเรียงเรียงสับเปลี่ยนทำได้ 24  วิธี

ขั้นตอนที่ 2  คือ นำสิ่งของที่เรามัดรวมกันมาเรียงสับเปลี่ยนทำได้ 6 วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการทำงานคือ \(24\times 6 =144\)   ใครยังไม่แม่นกฏการคูณกลับไปอ่านเพิ่มเติมก่อนนะครับ


ตัวอย่างที่ 4  จงหาจำนวนวิธีในการจัดผู้ชาย 5  คน และผู้หญิง 2 คน ยืนเรียงแถว โดย

1) จัดยืนเรียงแถวโดยไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

ตอบ \(P_{7,7}=5040\)  

2) จัดยืนเรียงแถวโดยให้ผู้หญิง 2 คนยืนติดกัน

ตอบ มัดผู้หญิงรวมกันก่อนทำเหมือนข้อก่อนหน้าจะได้ \(P_{6,6}\times P_{2,2}=1440\)

3) จัดยืนเรียงแถวโดยให้ผู้หญิง 2 คนยืนแยกกัน และหัวแถวกับท้ายแถวต้องเป็นผู้ชาย

ตอบ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 คือ จัดชายหัวยืนหัวแถวกับท้ายแถว จัดได้คือ

\(P_{5,2}=\frac{5!}{3!}=20\) วิธี

ขั้นตอนที่ 2  จัดตรงกลางที่อยู่ระหว่าง ชายหัวแถว  กับชายท้ายแถวโดยหญิงต้องยืนแยกกัน

การจัดตรงนี้จะคิดแบบตรงกันข้ามครับก็คือ

จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = จำนวนวิธีในการยืนเรียงแถวแบบไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีที่ผู้หญิงยืนติดกัน

จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = 5! - 4!2!     

จำนวนวิธีที่หญิงยืนแยกกัน = 120-48=72 วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ \(20\times 72 =1440\)  วิธี

ใครมีอะไรสงสัยสอบถามได้นะครับ


ตัวอย่างที่ 5  จะสร้างจำนวนที่มีสี่หลัก จากเลขโดด 2,4,6,8,9 ได้ทั้งหมดกี่จำนวน โดยที่แต่ละจำนวนนั้นต้องไม่มีเลขโดดในหลักใดซ้ำกันเลย

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับ มีของที่ต่างกันห้าสิ่งซึ่งก็คือตัวเลข 2,4,6,8,9 นำมาสร้างเลขสี่หลักก็คือนำสิ่งของมาจัดเรียงสับเปลี่ยนคราวละ4 สิ่งก็จะได้  

\(P_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!)}\)

\(P_{5,4}=\frac{5!}{1!}\)

\(P_{5,4}=120\)

ดังนั้นจะสร้างเลขสี่หลักได้  120  จำนวน


ตัวอย่างที่ 6  ในที่ทำงานแห่งหนึ่งมีตำแหน่งที่ต่างกันว่างอยู่  5 ตำแหน่ง  โดยที่เป็นตำแหน่งสำหรับชาย  3 ตำแหน่ง และตำแหน่งสำหรับผู้หญิง 2 ตำแหน่ง มีผู้มาสมัครเข้าทำงานเป็นชาย 6 คน หญิง 5 คน จะมีวิธีจัดคนที่มาสมัครเข้าทำงานได้กี่วิธี

วิธีทำ  จะเห็นว่าข้อนี้เป็นการทำงานสองขั้นตอน คือจัดตำแหน่งของสำหรับชายและจัดตำแหน่งสำหรับหญิง  เมื่อเป็นการทำงานสองขั้นตอนข้อนี้ต้องใช้กฎการคูณ

จัดตำแหน่งสำหรับชายได้  \(P_{6,3}\)

จัดตำแหน่งสำหรับหญิงได้ \(P_{5,2}\)

จำนวนวิธีจัดคนเข้าทำงานคือ

\(P_{6,3} \times P_{5,2}\)

\(=\frac{6!}{(6-3)!} \times \frac{5!}{(5-2)!}\)

\(=\frac{6!}{3!} \times \frac{5!}{3!}\)

\(=6\times 5 \times 4 \times 5\times 4\)

\(=2400\)   วิธี


ตัวอย่างที่ 7  จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดานโดยที่ไม่มีหญิง 2 คนใดยืนติดกัน

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้หลักการง่ายๆ เขาไม่อยากให้หญิงยืนติดกัน เราก็จัดชายก่อนแล้วค่อยเอาหญิงมาแทรก ดูรูปประกอบนะครับ

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น

ชายมีทั้งหมด 6 คน เอามาเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด ได้จำนวนวิธีในการจัดคือ 6! วิธี

ต่อไปจัดหญิงเข้าไปแทรกซึ่งมีที่ให้แทรก 7 ที่

หญิงคนที่ 1 แทรกได้ 7 วิธี

หญิงคนที่ 2 แทรกได้ 6 วิธี

หญิงคนที่ 3 แทรกได้ 5 วิธี

ดังนั้นจัดนวนวิธีจัดชาย 6 คน และหญิง 3 คนยืนแถวหน้ากระดานโดยไม่มีหญิง 2 คนยืนติดกันเท่ากับ

\(6!\times 7 \times 6 \times 5\)=151,200  วิธี


ตัวอย่างที่ 8 จำนวนคี่ที่มากกว่า 300 แต่น้อยกว่า 900 มีทั้งหมดกี่จำนวนโดยที่เลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแยกทำเป็นสองกรณี ไม่อย่างนั้นจะทำไม่ได้จะเกิดการขัดแย้งในระหว่างที่เราเลือกตัวเลขใส่ลงไปในแต่ละหลัก แยกทำเลยนะครับ พยายามอ่านให้เข้าใจ โจทย์แบบนี้ชอบออกข้อสอบ

กรณีที่ 1 

หลักร้อย เป็นจำนวนคี่ คือ 3,5 และ 7

ฉะนั้นหลักร้อยเลือกเลขโดดได้  3 วิธี  คือเลข 3 หรือ 5 หรือ 7

หลักหน่วยเลือกได้ 4 วิธี หลักหน่วยต้องเป็นเลขคี่และเลขโดดต้องไม่ซ้ำกันในแต่ละหลัก  คือถ้าเลือกเลข 7 เป็นหลักร้อยหลักหน่วย ก็เลขให้เลือกคือ 1,3,5,9 ก็คือเลือกได้ 4 วิธี  ระวังนะเลือกเลข  7  ไม่ได้เพราะเข้าห้ามใช้เลขซ้ำ

หลักสิบ เลือกเลขโดดได้ 8 วิธี  หลักสิบใส่เลขโดดอะไรลงไปก็ได้ แต่ห้ามไปซ้ำกับหลักหน่วยและหลักร้อย จากเลขโดดมีสิบตัวคือ เลฃ  0-9 เลือกใช้ไปแล้ว 2  ตัวดังนั้นเหลือ 8 ตัวให้เลือกก็คือเลือกได้ 8 วิธี

ดังนั้น มีวิธีสร้างจำนวนได้ \(3 \times 4 \times 8=96\)   วิธี

กรณีที่ 2

หลักร้อย   เป็นจำนวนคู่  คือ 4,6,8

ฉะนั้นหลักร้อยเลือกเลขโดดได้ 3  วิธี

หลักหน่วย  เลือกเลขโดดได้ 5 วิธี หลักหน่วยเป็นจำนวนคี่และเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

หลักสิบ เลือกเลขโดดได้  8  วิธี

ดังนั้น มีวิธีสร้างจำนวนได้ \(3 \times 5 \times 8 =120 \)  วิธี

ดังนั้น จำนวนคี่ที่มีค่ามากกว่า  300 แต่น้อยกว่า  900 โดยที่เลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ำกันมี  96+120 = 216  จำนวน


ตัวอย่างที่ 9  มีหนังที่แตกต่างกัน 8 เล่ม ในจำนวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถวยาวแถวเดียว จะจัดได้กี่วิธี โดยที่หนังสือคณิตศาสตร์อยู่แยกกันทุกกลุ่ม

วิธีทำ  ข้อนี้ทำเหมือนตัวอย่างที่ 7  ก็คือจัดหนังสือเล่มอื่นที่ไม่ใช้หนังสือคณิตศาสตร์ซึ่งมี 5 เล่ม

ดังนั้นจัดได้   \(5!\)  วิธี จะเห็นว่ามีที่ว่างให้แทรกหนังสือคณิตศาสตร์ 6  ที่

ดังนั้น หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 1 เลือกแทรกในที่ว่างได้ 6 วิธี

หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 2 เลือกแทรกในที่ว่างได้  5  วิธี

หนังสือคณิตศาสตร์เล่มที่ 3 เลือกแทรกในที่ว่างได้  4 วิธี

ฉะนั้น จัดหนังสือคณิตศาสตร์แทรกได้ \(6 \times 5 \times 4 =120 \)   วิธี

นั่นคือ จำนวนวิธีจัดหนังสือทั้ง 8 เล่ม เท่ากับ \(5! \times 120 = 14400\)  วิธี


ตัวอย่างที่ 10  จะจัดคน  5  คนยืนเป็นแถวเพื่อถ่ายรูป โดยจะถ่ายทีละกีคนก็ได้ จะมีภาพถ่ายที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่ภาพ

วิธีทำ  ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยว่าต้องแยกเป็นกรณีในการคิดเพราะบอกว่าถ่ายทีละกี่คนก็ได้

กรณีที่ 1  ถ่ายทีละ 1 คน

ฉะนั้นถ้าถ่ายทีละ 1 คน มีคน 5 คน ก็จะได้ภาพที่แตกต่างกัน  5  ภาพ

กรณีที่ 2  ถ่ายทีละ 2 คน

ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,2}=\frac{5!}{(5-2)!}=20\)  ภาพที่แตกต่างกัน

กรณีที่ 3  ถ่ายทีละ 3 คน

ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน  \(P_{5,3}=\frac{5!}{2!}=60\)    ภาพที่แตกต่างกัน

กรณีที่ 4  ถ่ายทีละ 4  คน

ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน  \(P_{5,4}=\frac{5!}{1!}=120\)   ภาพที่แตกต่างกัน

กรณีที่ 5  ถ่ายทีละ 5 คน

ฉะนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกัน \(P_{5,5}=\frac{5!}{1}=5!=120\)   ภาพที่แตกต่างกัน

ดังนั้นจะมีภาพที่แตกต่างกันทั้งหมด \(5+20+60+120+120=325 \)   ภาพ


ตัวอย่างที่ 11   มีหนังสือเคมี 3 เล่มต่างกัน หนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่มต่างกัน และหนังสือภาษาอังกฤษ 4 เล่มต่างกัน จะจัดวางบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี

1. ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

2. ถ้าหนังสือคณิตศาสตร์วางในตำแหน่งหัวแถวและหางแถว

3.ถ้าหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน

วิธีทำ

1.ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม ก็คือนำสิ่ิงของที่ต่างกันทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด (3+2+4)! วิธี

2. ถ้าหนังสือคณิตศาสตร์วางในตำแหน่งหัวแถวและหางแถว

หนังสือคณิตศาสตร์มี 2 เล่มดังนั้นจะไปว่างหัวแถวท้ายแถวได้ 2  วิธี  ก็คือ

คณิตเล่มที่ 1...................คณิตเล่มที่ 2

คณิตเล่มที่ 2...................คณิตเล่มที่ 1

แบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณีก็ได้

กรณีที่ 1  คือจัดวางหนังสือคณิตแบบ  คณิตเล่มที่ 1....................คณิตเล่มที่ 2

ดังนั้นเอาหนังสือ เคมี 3 เล่ม และภาษาอังกฤษ 4 เล่มมาเรียงสับเปลี่ยนระหว่างหนังสือคณิต 2 เล่นได้ (3+4)! วิธี

กรณีที่ 2 คือจัดวางหนังสือคณิตแบบ  คณิตเล่มที่ 2......................คณิตเล่มที่ 1

ดังนั้นเอาหนังสือ เคมี 3 เล่ม และภาษาอังกฤษ 4 เล่มมาเรียงสับเปลี่ยนระหว่างหนังสือคณิต 2 เล่นได้ (3+4)! วิธี

ดังนั้นขอ 2.  ตอบ (3+4)!+(3+4)!=2(7!)

3.ถ้าหนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน

จัดหนังสือแต่ละวิชาหมัดรวมกัน แล้วนำมาจัดวางสลับกันได้ 3! วิธี

หนังสือเคมี 3 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 3! วิธี

หนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 2! วิธี

หนังสือภาษาอังกฤษ 4 เล่ม ที่มัดไว้ สลับที่กันเองได้อีก 4! วิธี

ดังนั้น มีวิธีจ้ัดได้ทั้งหมด 3!3!2!4!=1728  วิธี

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com