กำหนดให้ \(\vec{u}\)  และ \(\vec{v}\) เป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ขนานกัน ทำมุม \(\theta\) และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้สูง  \(|v|\sin\theta\)  จะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้คือ 

\[|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\quad (ฐาน \times สูง)\]

ดูรูปประกอบครับ

มาดูการทำโจทย์กันครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD  เมื่อ \(\vec{AB}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\) และ \(\vec{AD}=-\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}\)

วิธีทำ ดังนั้นเราจะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ \(|\vec{AB}\times \vec{AD}|\)

อย่าลืมไปดูผลคูณเชิงเวกเตอร์นะครับถ้าใครคูณไม่เป็น

\begin{array}{lcl}\vec{AB}\times \vec{AD}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&1\\-1&1&-2\end{vmatrix}\\&=&\begin{vmatrix}-1&1\\1&-2\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&1\\-1&-2\end{vmatrix}\vec{j}\\&+&\begin{vmatrix}2&-1\\-1&1\end{vmatrix}\vec{k}\\&=&[(-1)(-2)-(1)(1)]\vec{i}\\&-&[(2)(-2)-(1)(-1)]\vec{j}\\&+&[(2)(1)-(-1)(-1)]\vec{k}\\&=&\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}|\vec{AB}\times \vec{AD}|&=&|\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}|\\&=&\sqrt{1^{2}+3^{2}+1^{2}}\\&=&\sqrt{1+9+1}\\&=&\sqrt{11}\end{array}

นั่นคือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เท่ากับ \(\sqrt{11}\) ตารางหน่วย

---

1. จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(PORS\) เมื่อ \(\vec{PO}=3\vec{i}-2\vec{j}\quad ,\quad \vec{PS}=3\vec{j}+4\vec{k}\)

วิธีทำ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(PORS=|\vec{PO}\times\vec{PS}|\)

\begin{array}{lcl}\vec{PO}\times\vec{PS}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-2&0\\0&3&4\end{vmatrix}\\&=&-8\vec{i}-12\vec{j}+9\vec{k}\\|\vec{PO}\times\vec{PS}|&=&\sqrt{(-8)^{2}+(-12)^{2}+9^{2}}\\&=&17\end{array}

ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(PORS\) มีพื้นที่ 17 ตารางหน่วย

***การครอสเวกเตอร์หรือว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ก็คือการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามใครที่ยังครอสไม่เป็นไปอ่านตามลิงค์นะครับ

---

2. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น \(A(0,2,2),\quad B(8,8,-2),\quad C(9,12,6)\)

วิธีทำ จากรูป จะเห็นพื้นของสามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของ \(|\vec{AB}\times \vec{AC}|\) นั่นคือเราต้องหาเวกเตอร์เอบี และเวกเตอร์เอซี ก่อนครับ จะได้

\begin{array}{lcl}\vec{AB}&=&\begin{bmatrix}8-0\\8-2\\-2-2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}8\\6\\-4\end{bmatrix}\\&=&8\vec{i}+6\vec{j}-4\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{AC}&=&\begin{bmatrix}9-0\\12-2\\6-2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}9\\10\\4\end{bmatrix}\\&=&9\vec{i}+10\vec{j}+4\vec{k}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\vec{AB}\times\vec{AC}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\8&6&-4\\9&10&4\end{vmatrix}\\&=&64\vec{i}-68\vec{j}+26\vec{k}\\|\vec{AB}\times\vec{AC}|&=&\sqrt{64^{2}+68^{2}+26^{2}}\\&=&\sqrt{9396}\\&=&18\sqrt{29}\end{array}

ดังนั้น สามเหลี่ยม \(ABC\) มีพื้นที่ \(\frac{1}{2}\times18\sqrt{29}=9\sqrt{29}\)