ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

Details: Written by Administrator; Parent Category: ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์; Category: ความรู้คณิตศาสตร์ม.5; Last Updated: 30 November 2022; Hits: 7054

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม เป็นการนำค่าเฉลี่ยมาหาค่าเฉลี่ยอีกทีหนึ่ง ฟังที่ผมพูดอาจจะงงลองมาดูตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลยคณิตร่วมกันคครับ

ตัวอย่าง ที่โรงเรียนแห่งหนึ่งอายุเฉลี่ยของนักเรียนแต่ละระดับเป็นดังต่อไปนี้

ระดับชั้น	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	จำนวนนักเรียน
ม.3	15	60
ม.4	17	50
ม.6	18	40

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของนักเรียนรวมทั้งสามระดับชั้น

วิธีทำ จะเห็นได้ว่าโจทย์กำหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตอายุของนักเรียนในแต่ละระดับชั้นมาให้แล้วแล้วให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั้งหมดอีกทีนี่แหละเรียกว่าการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ซึ่งวิธีการหาเป็นดังนี้

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{(15\times 60)+(17\times 50)+(18\times 40)}{60+50+40}\\&=&\frac{900+850+720}{150}\\&=&\frac{2470}{150}\\&=&16.47\end{array}

หรือถ้ามองให้เป็นสูตรในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมคือ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{N_{1}\bar{x}_{1}+N_{2}\bar{x}_{2}+\cdots +N_{k}\bar{x}_{k}}{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{k}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}\bar{x}_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}}\end{array}

นี่เป็นสูตรในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตร่วมที่ดูสูตรแล้วงงก็ไม่ต้องดูก็ได้แต่ให้รู้ว่าต้องตัวไหนบ้างเป็นคำนวณก็พอแล้วดูตัวอย่างประกอบนะครับ

มาลองทำแบบฝึกหัดต่อครับผม ผมจะพิมพ์แบบฝึกหัดเพิ่มเรื่อยๆนะคับ ถ้าหากมีเวลาจะเพิ่มให้เยอะๆเลย ไว้เอาไปอ่านกันครับ

1. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม. 6 จำนวน 10 ห้อง คะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 3 ห้องตัวอย่าง ตังตาราง

ห้องที่	จำนวนนักเรียน	คะแนนเฉลี่ย
1	32	72
2	35	64
3	33	74

จงหาคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์โดยประมาณ

วิธีทำ ข้อนี้จะสังเกตเห็นว่า โจทย์เขาให้คะแนนเฉลี่ยของแต่ละห้องมาแล้ว แล้วให้เราหาค่าเฉลี่ยของคะแนนอีกทีหนึ่ง แบบนี้แหละเขาเรียกว่า การหาค่าเฉลี่ยรวม หรือถ้าพวกแบบบ้านๆ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ก็คือ การเอาค่าเฉลี่ยมาหาค่าเฉลี่ยอีกทีหนึ่งนั่นเองครับผม เริ่มหากันเลย ดูดีๆนะไม่มีอะไรยากครับ

\begin{array}{lcl}\bar{X}_{total}&=&\frac{(32\times 72)+(35\times 64)+(33\times 74)}{32+35+33}\\&=&69.86\end{array}

ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยรวมวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 69.86 คะแนน

2. ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวน 3 จำนวน เท่ากับ 13 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนอีก 7 จำนวนเท่ากับ 19 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนทั้ง 10 จำนวน

วิธีทำ ข้อนี้คือให้หาค่าเฉลี่ยรวมนั่นเองครับ ทำเลยดีกว่า ง่ายมากๆเลย

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{3(13)+7(19)}{10}\\&=&\frac{39+133}{10}\\&=&17.2\end{array}

ดังนั้นค่าเลขคณิตทั้ง 10 จำนวนนี้เท่ากับ 17.2

3.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวน 50 จำนวนเท่ากับ 3.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 48 จำนวนแรกเท่ากับ 3 และสองจำนวนสุดท้ายมีค่าเท่ากัน

1) จงหาสองจำนวนสุดท้าย

2) ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีก 50 จำนวน เท่ากับ 48 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวน 100 จำนวน

วิธีทำ

1) จงหาสองจำนวนสุดท้าย

จากโจทย์เราสามารถใช้ความรู้ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมในการหาค่าของสองจำนวนสุดท้ายได้นะคับ และอย่าลืมว่าสองจำนวนสุดท้ายมีค่าเท่ากัน

อ่านโจทย์ดีๆนะ ถ้าอ่านดีๆ จะเห็นว่าข้อมูลมีอยู่ 2 ชุด

ชุดแรกมีข้อมูลอยู่ 48 ตัว ซึ่งข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 3

ชุดสองมีข้อมูลอยู่ 2 ตัว แต่ไม่รู้ค่าเฉลี่ยเป็นเท่าใด

แต่ที่รู้คือ ข้อมูลทั้งสองชุดนี้หาค่าเฉลี่ยรวมออกมาจะเท่ากับ 3.2 นะคับ

นี่คือโจทย์ที่เขาให้มามีลักษณะแบบนี้ ดังนั้นเราจึงใช้ความรู้เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมมาช่วยแก้ปัญหาได้ครับผม จากสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม \[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}\bar{x}_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}}\]

เริ่มทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}\bar{x}_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_{i}}\\3.2&=&\frac{3(48)+2(\bar{x})}{50}\\3.2\times 50&=&144+2\bar{x}\\2\bar{X}&=&16\\\bar{x}&=&8\end{array}

ดังนั้น สองจำนวนสุดท้ายมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ \(8\) จึงได้ว่าจึงได้ว่าสองจำนวนสุดท้ายนี้คือ \(\frac{8}{2}=4\) นั่นเอง

วิธีทำ ตอนนี้ข้อมูลที่เราได้มาคือ

ชุดแรกมีข้อมูลอยู่ 48 ตัว ซึ่งข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 3

ชุดสองมีข้อมูลอยู่ 2 ตัว แต่ไม่รู้ค่าเฉลี่ยเท่ากับ 8 ซึ่งหาไว้ใน 1)

ชุดสามโจทย์บอกมาไงว่าถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีก 50 จำนวน เท่ากับ 48 ดังนั้นจากข้อมูลตรงนี้ทำให้เราสามารถหาค่าเฉลี่ยของจำนวน 100 จำนวนนี้ ซึ่งเป็นการหาค่าเฉลี่ยรวมนะคับผม เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{3(48)+8(2)+48(50)}{100}\\&=&\frac{2560}{100}\\&=&25.60\end{array}

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูล 100 จำนวนคือ 25.60

อ่านเพิ่มเติม เกี่ยวกับโจทย์ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตามลิงก์ด้านล่าง