-
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
1. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใดๆ จะต้องเป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์เสมอ
2. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลจะเท่ากับศูนย์ ก็ต่อเมื่อ ค่าทุกค่าในข้อมูลนั้นเท่ากันหมด
3. ถ้านำจำนวนจริง \(b\) ไปบวกกับค่าแต่ละค่าในข้อมูลเดิมแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่ จะเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดิมตามลำดับ
4. ถ้านำจำนวนจริง \(a\) ไปคูณค่าแต่ละค่าในข้อมูลเดิมเดิมแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่ จะเท่ากับ \(|a|\)เท่าของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดิมตามลำดับ
5. ถ้า \(x\) แทนค่าในข้อมูลชุดหนึ่ง และ \(y\) แทนค่าในข้อมูลอีกชุดหนึ่ง โดยที่
\[y=ax+b\]
เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นค่าคงตัวแล้ว
\[M.D._{y}=|a|M.D._{x}\]
และ
\[S.D._{y}=|a|S.D._{x}\]
6. ถ้าคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้ค่ากลางของข้อมูลอย่างอื่นที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกัน
1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งคือ \(a,b,c,d\) มี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรเท่ากับ \(p\) แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยคับ
จะเห็นได้ว่า
\(-3a,-3b,-3c,-3d\) คือการเอา \(-3\) คูณเข้ากับข้อมูลเดิม ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้จึงเท่ากับ \(|-3|p=3p\)
และจะเห็นว่า
\(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) คือการเอา \(2\) ไปบวกเข้ากับข้อมูล \(-3a,-3b,-3c,-3d\) ดังนัั้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะยังเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิมคือ \(3p\)
ข้อนี้ตอบ \(3p\)
2. ในการศึกษาน้ำหนักมังคุด 10 ผล ปรากฎว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของน้ำหนักมังคุดมีค่าเป็นศูนย์ ถ้าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดแต่ละผลเป็น 9000 กรัม มังคุดแต่ละผลหนักกี่กรัม
วิธีทำ จากโจทย์เนื่องจากส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ เราจึงได้ว่าน้ำหนักมังคุดทั้ง 10 ผลนี้ มันหนักเท่ากัน
ผมสมมติให้ แต่ละผลหนักเท่ากับ \(x\) กรัม ดังนั้น กำลังสองของน้ำหนังมังคุดแต่ละลูกคือ \(x^{2}\)
และจะได้อีกว่าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดทั้งหมดคือ \(10x^{2}\) ซึ่งจากโจทย์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}10x^{2}&=&9000\\x^{2}&=&\frac{9000}{10}\\x^{2}&=&900\\x&=&\pm 30\end{array}
เนื่องจาก \(x\) คือน้ำหนักมังคุดแต่ละลูก ดังนั้น \(x=30\) กรัม นั่นคือมังคุดแต่ละลูกหนัก 30 กรัม
3. เมื่อวันปีใหม่ที่ผ่านมา คุณพ่อตั้งใจจะเห็นเงินแก่ลูก 7 คน เรียงตามลำดับอายุดังนี้ \(31,30,29,28,27,26,25\) บาท ตามลำดับ คุณพ่อนึกขึ้นมาได้ว่าปัจจุบันค่าใช้จ่ายสูงขึ้น ควรจะให้เงินแก่ลูกเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของแต่ละคน ซึ่งเมื่อคิดส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินที่ได้รับครั้งหลังแล้วได้เท่ากับ 3 บาท จงหาว่าลูกคนที่สองจะได้รับเงินกี่บาท
วิธีทำขั้นตอนการทำข้อนี้คือ เอาข้อมูลนี้คือ \(31,30,29,28,27,26,25\) ซึ่งผมจะเรียกว่าข้อมูลเดิม มาหา S.D. ซึ่งจะได้ S.D. ของข้อมูลเดิมนี้เท่ากับ 2 ไปหากันเองนะคับไม่แสดงวิธีทำให้ดู
ขั้นตอนต่อไปคือพิจารณาจากโจทย์ พ่อเพิ่มเงินให้แก่ลูกตามสัดส่วนของแต่ละคน สมมติให้พ่อเพิ่มเงินให้แต่ละคนคิดเป็นสัดส่วนคือ \(a\) นั่นคือ แต่ละคนได้เงินเพิ่มเป็น \(31a,30a,29a,28a,27a,26a,25a\) ซึ่งหลังจากที่พ่อเพิ่มให้เงินแก่ลูกๆแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินครั้งหลังนี้มีค่าเท่ากับ \(3\) ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราได้ว่า
\begin{array}{lcl}3&=&|a|2\\|a|&=&\frac{3}{2}\\|a|&=&1.5\\a&=&1.5\end{array}
นั่นก็คือลูกคนที่สองได้รับเงิน \(30a=30(1.5)=45\) บาท
*** ค่าของ \(a\) ต้องใช้เป็น 1.5 นะคับเพื่อให้เข้ากับเงื่อนไขของโจทย์คือได้เงินเพิ่มขึ้น แต่ถ้าใช้ \(a\) เป็น \(-1.5\) เงินจะติดลบซึ่งไม่ตรงตามเงื่อนไขของโจทย์
4. ข้อมูล 2 ชุด มีจำนวนข้อมูลเท่ากัน ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ปรากฏผลดังนี้ \(\overline{x_{1}}:\overline{x_{2}}=3:5\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเท่ากัน ถ้าข้อมูลชุดที่หนึ่งเป็น \(1,4,6,9,10\) จงหาข้อมูลชุดที่สอง
วิธีทำ จากข้อมูลชุดที่หนึ่งที่โจทย์ให้มา ทำให้เราได้ว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\overline{x_{1}}=6\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(\overline{x_{2}}=10\) ก็คือข้อมูลชุดที่สองมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) นั่นเองครับ อันนี้ไม่คำนวณให้ดูนะ ลองไปหาเองไม่ยาก
ต่อไปคิดตามดีๆ นะ เนื่องจากข้อมูลชุดที่สองมันมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) ดังนั้นผลรวมของข้อมูลชุดที่สองซึ่งมีข้อมูลอยู่ 5 ตัวจะเท่ากับ \(50\) นะคับคิดตามดีๆ
การหาข้อมูลชุดที่สอง ให้เริ่มต้นจากข้อมูลชุดที่หนึ่ง และใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มาช่วยในการหานิดหน่อย ก็คือว่า
ข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ \(1,4,6,9,10\) ซึ่งผลรวมของข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ 30
แต่ข้อมูลชุดที่สอง ที่เราต้องการหาอยู่นี้เราต้องการผลรวมของมันคือให้ได้เท่ากับ 50 ดังนั้นเราต้องเอา \(4\) ไปบวกเข้ากับทุกตัวของข้อมูลชุดที่ 1 ก็จะได้ข้อมูลชุดที่สองเป็น \(1+4,4+4,6+4,9+4,10+4\) หรือก็คือ \(5,8,10,13,14\) ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเห็นได้ว่า ข้อมูลชุดที่หนึ่ง กับ ข้อมูลชุดที่สอง ก็ยังมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ไม่เชื่อลองคำนวณดู ดังนั้นข้อมูลชุดที่สอง ก็คือ \(5,8,10,13,14\)
5. ในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง นักคำนวณได้ใช้ค่ามัธยฐานซึ่งมีค่า 45 มาคำนวณแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งมีค่า 48 ปรากฎหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 ถ้านักคำนวณผู้นี้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว จะคำนวณได้เท่าใด
วิธีทำ จากโจทย์เราได้ว่า
\begin{array}{lcl}5&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-median)^{2}}{N}}\\25&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}\quad\cdots (1)\end{array}
และจากโจทย์อีกอันคือ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}}\\S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}}\\S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) และข้อมูลที่โจทย์ให้มาคือ \(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}=48\)
เริ่มหาคำตอบกันเลยครับผม
\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45-3)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left[(x_{i}-45)^{2}-6(x_{i}-45)+9\right]}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}-\frac{6\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)}{N}+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}9}{N}\\&=&25-6\left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}45}{N}\right]+\frac{9N}{N}\\&=&25-6[48-\frac{45N}{N}]+9\\&=&25-6[3]+9\\&=&25-9\\&=&16\end{array}
เนื่องจาก
\(S.D.^{2}=16\)
นั่นคือ
\(S.D.=4\)
ก็คือถ้าใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4
6.ถ้า \(\mu\) และ \(\sigma\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณเป็นจำนวนเต็มของข้อมูล \(12,13,15,17,23\) ตามลำดับ ถ้าแปลงข้อมูลใหม่ด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่เป็น 18 และ \(3\sigma\) ตามลำดับ จงหาค่าของ \(\mu ,\sigma ,a,b\)
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าข้อมูลชุดใหม่ถูกแปลงด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ทำให้ข้อมูลทั้งสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นเราสามารถใช้สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เลย ถ้าให้ \(\mu_{new}\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่เราสามารถหาค่า \(\mu_{new}\) ได้จาก
\[\mu_{new}=a\mu+b\]
ซึ่งเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\mu_{new}&=&a\mu+b\\18&=&a(16)+b\quad\cdots (1)\end{array}
*** จากข้อมูลที่กำหนดให้คือ 12,13,15,17,23 ได้ค่าเฉลี่ยเลคณิต(\(\mu\)) เท่ากับ 16 นะ
และข้อมูลสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ว่า
\[\sigma_{new}=|a|\sigma\]
เมื่อ \(\sigma_{new}\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่
\(\sigma\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sigma_{new}&=&|a|\sigma\\3\sigma&=&|a|\sigma\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((2)\) เราได้ว่า \(a=3\) และเรานำค่า \(a=3\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) ได้ค่า \(b=-30\)
เนื่องจากเราได้ค่าของ \(a\) และ \(b\) แล้ว เราจึงได้ว่า
\[y_{i}=ax_{i}+b\]
มีค่าเท่ากับ
\[y_{i}=3x_{i}-30\]
ต่อไปเราได้ว่า เราก็คำนวณหาค่าของ \(\sigma\) ทำเองนะคับจะได้ว่า
\[\sigma=\sqrt{\frac{76}{5}}\]
-
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่บ่งบอกถึงการกระจายของข้อมูล ถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมี
ค่ามากนั้่นหมายความว่า ข้อมูลชุดนั้นมีการกระจายกันมากถ้าเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็บ่งบอกว่านักเรียนได้คะแนนต่างกัน แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมีค่าน้อย นั้นหมายความว่าข้อมูลชุดนั้นเป็นข้อมูลที่เกาะกลุ่มกันอยู่ เป็นข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกัน ถ้าเป็นเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็แสดงว่านักเรียนได้คะแนนไล่เลี่ยกันไม่ห่างกันมาก
-
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{N}\) เป็นข้อมูลของประชากร N หน่วย และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\mu\) แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร หรือ \(\sigma\) (อ่านว่า ซิกมา) สามารถคำนวณได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}{N}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}\sigma &=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
โดยที่
\(\mu\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
\(N\) แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมดของประชากร
นอกการใช้สัญลักลักษณ์ \(\sigma\) แล้ว อาจใช้สัญลักษณ์ S.D. หรือ s
แต่ในกรณีที่ไม่สามารถศึกษาข้อมูลทั้งหมดของประชากร และข้อมูลที่ใช้เป็นข้อมูลตัวอย่างซึ่งเป็นตัวแทนของประชากรแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง(sample standard deviation หรือ s)ซึ่งใช้เป็นตัวประมาณของ \(\sigma\) คำนวณได้ดังนี้
พูดง่ายๆก็คือ ถ้าข้อมูลที่ให้มาเป็นกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นแค่ส่วนหนึ่งของประชากรเวลาคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้ใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl} s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl} s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}}\end{array}
โดยที่
\(\bar{X}\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
\(n\) แทนจำนวนของข้อมูลทั้งหมดของตัวอย่าง
อนึ่งในทางปฏิบัติจริงๆ ข้อมูลที่เขาให้มานั้นมักจะเป็นตัวอย่าง ไม่ใช่ประชากร ดังนั้นจึงนิยมใช้สูตรที่เป็น \(s\) มากกว่า \(\sigma\)
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ
1. จงหาพิสัย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของราคาเครื่องสำอางชนิดหนึ่ง ซึ่งจากการสำรวจร้านค้ามาเป็นตัวอย่าง 8 แห่ง ได้ราคาของเครื่องสำอางดังนี้ 410 415 425 410 640 400 410 และ 410 บาท ตามลำดับ แล้วพิจารณาว่าการวัดการกระจายของข้อมูลวิธีใดเหมาะสมกับข้อมูลที่สุด
วิธีทำ
ราคาเครื่องสำอางชนิดหนึ่งที่นำมาเป็นตัวอย่างจากร้านค้า 8 แห่ง เรียงจากน้อยไปมากดังนี้
400 410 410 410 410 415 425 640
พิสัยเท่ากับ 640-400=240 บาท
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\bar{X}=\frac{400+4(410)+415+425+640}{8}=440\)
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s)
\begin{array}{lcl} s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}}\\&=&\sqrt{\frac{(-40)^{2}+4(-30)^{2}+(-25)^{2}+(-15)^{2}+(200)^{2}}{8-1}}\\&=&\sqrt{\frac{46050}{7}}\\&=&81.11\quad บาท \end{array}
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
\begin{array}{lcl}M.D. &=&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{40+4(30)+25+15+200}{8}\\&=&\frac{400}{8}\\&=&50\quad บาท \end{array}
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
หาตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}(8+1)=2.25\)
จะได้ ควอร์ไทล์ที่ 1 หรือก็คือ \(Q_{1}=410\) การหาค่าควอร์ไทล์ใครหาไม่เป็นไปอ่านตามลิงค์นะครับ
หาตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}(8+1)=6.75\)
จะได้ \(Q_{3}=415+(10\times 0.75)=422.5\)
จะได้ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{422.5-410}{2}=6.25\) บาท
ดังนั้นการวัดการกระจายของข้อมูลชุดนี้ ควรใช้ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์จึงเหมาะสมที่สุดเนื่องจากราคาเครื่องสำอาง 640 บาท เป็นค่าสูงผิดปกติเมื่อเปรียบเทียบกันค่าอื่น
2. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้าชนิดหนี่งที่ขายตามร้านต่างๆในสองท้องที่ซึ่งขายในราคาที่ต่างกันดังนี้
ท้องที่ที่หนึ่ง (บาท) 50, 52, 45, 55, 54, 48, 53
ท้องที่ที่สอง (บาท) 40, 50, 51, 52, 51, 51, 62, 53, 49
วิธีทำ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่งคือ
\(\bar{X}=\frac{50+52+45+55+54+48+53}{7}=51\quad บาท\)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าในท้องที่ที่สองคือ
\(\bar{X}=\frac{40+50+51+52+51+51+62+53+49}{9}=51\quad บาท\)
จะเห็นว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าของสองท้องที่เท่ากัน การเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้าในสองท้องที่สามารถใช้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้
(ในกรณีที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เท่ากันไม่สามารถทำการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุดโดยการใช้การกระจายสัมบูรณ์ได้)
การหาการกระจายราคาสินค้าโดยการใช้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของท้องที่ที่หนึ่งเท่ากับ
\(M.D.=\frac{1+1+6+4+3+3+2}{7}=\frac{20}{7}\approx 2.86\)
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของท้องที่ที่สองเท่ากับ
\(M.D.=\frac{11+0+1+0+0+11+2+2}{9}=\frac{28}{9}\approx 3.11\)
ดังนั้น ราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่ง
การหาการกระจายราคาสินค้าโดยการใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของท้องที่ที่หนึ่งเท่ากับ
\(s=\sqrt{\frac{1+1+36+16+9+9+4}{6}}\approx 3.56\)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของท้องที่ที่สองเท่ากับ
\(s=\sqrt{\frac{121+1+0+1+0+0+121+4+4}{8}}\approx 5.61\)
ดังนั้นราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่ง
จากที่เราหาการกระจายของราคาสินค้าของสองท้องที่ ได้คำตอบเหมือนกันคือราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าในท้องที่ที่หนึ่ง แต่ในทางปฏิบัติมักจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่างของประชากรขนาด 20 รายการ ชุดหนึ่งเป็น 10 และ 2 ตามลำดับ ภายหลังพบว่ามีการบันทึกข้อมูลรายการหนึ่งผิดพลาดไป โดย 12 บันทึกเป็น 8 จงคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง
วิธีทำ การทำข้อนี้ไม่ยากครับ จากโจทย์ตอนแรกโจทย์บอกว่า
\(\bar{X}=10\)
\(s=8 \)
จากสูตรการหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง
\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\10&=&\frac{\sum_{i=1}^{20}}{20}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}&=&10\times 200\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}&=&200\end{array}
ต่อโจทย์บอกว่ามีการบันทึกข้อมูลผิดพลาดไป โดย 12 แต่เขาบันทึกเป็น 8 แสดงว่าต้องบันทึกเพิ่มอีก 4 ใช่ไหมครับดังนั้น
\(\sum_{x=1}^{20}=200+4\) อันนี้คือผลรวมที่ถูกต้องครับ
ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องคือ
\(\bar{X}=\frac{204}{20}=10.2\)
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ
ใช้สูตรนี้ในการหานะครับ เลือกใช้สูตรให้เหมาะสมนะครับ
\(s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}}\)
ลองแทนค่าตามที่โจทย์ให้มาลงไปในสูตรครับจะได้
\(2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-20(10)^{2}}{20-1}}\)
ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างครับจะได้
\begin{array}{lcl}4&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-20(10)^{2}}{20-1}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&4\times 19+2000\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&2076\end{array} อันนี้ยังเป็นการคำนวณที่ผิดนะครับเพราะเขาบันทึกข้อมูลผิดครับที่ถูกต้องก็คือ จากเริ่มแรกที่เราคำนวณมา
\(\bar{X}=200-8+12=204\)
ดังนั้นผลรวม \(x_{i}^{2}\) ที่ถูกต้องคือ
\(\sum_{i=1}^{20}=x_{i}^{2}=2076-(8)^{2}+(12)^{2}=2156\)
ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}}\\&=&\sqrt{\frac{2156-20(10.2)^{2}}{20-1}}\\&=&\sqrt{\frac{75.2}{19}}\\&=&1.99\end{array}
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ 1.99
ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องคือ 10.2
9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ
\(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots (1)\)
จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots (2)\)
และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}
สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้
\[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]
ทำต่อเลยคับจะได้
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\) จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ
\[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]
จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]
ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)
\(\bar{X}=15\)
เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}
11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)
วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3 เราจะได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}
12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)
และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า
\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)
ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}
และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)
ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า
\(|44-53|=9\)
\(|50-53|=3\)
\(|65-53|=12\)
ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)
ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ
\(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)
จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\) และได้ว่า
\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
\(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}
พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร
ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}
-
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(mean deviation หรือ average deviation) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่ได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางที่ใช้อาจเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่ส่วนมากนิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) เป็นข้อมูลตัวอย่าง n จำนวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\bar{X}\) แล้ว
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) &=&\frac{|x_{1}-\bar{X}|+|x_{2}-\bar{X}|+|x_{3}+\bar{X}+\cdots +|x_{n}+\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{k}\) เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นต่างๆ k ชั้น ซึ่งมีความถี่ \(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots ,f_{k}\) ตามลำดับ n เป็นจำนวนข้อมูลตัวอย่างทั้งหมด และถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\bar{X}\) แล้ว สามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยประมาณ) ได้จากสูตร
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
เมื่อ k แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่และการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของที่แจกแจงความถี่
สำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ให้อ่านตามลิงค์นี้ครับผมได้เขียนแสดงตัวอย่างให้ดูเยอะแล้วครับจะเป็นตัวอย่างที่รวมอยู่ในหัวข้อส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ค่อยๆอ่านครับส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
ต่อไปก็ไปดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรายได้ชองคนงานหญิง 400 คน จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แล้วเปรียบเทียบค่าที่ได้กับพิสัยของข้อมูลชุดนี้
รายได้(บาท) จำนวนคนงาน (คน) 1500-1599 20 1600-1699 70 1700-1799 120 1800-1899 100 1900-1999 60 2000-2099 20 2100-2199 10 วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และข้อมูลที่เขาให้มาเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่ ดังนั้นต้องใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
เมื่อ k แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
แสดงว่าเราต้องไปหาจุดกี่งกลางชั้น หาค่าเฉลี่ย และหาความถี่สะสม ความถี่สะสมนี้เอาไว้ไปใช้คำนวณในการหาควอร์ไทล์ การหาค่าควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
รายได้ จุดกึ่งกลางชั้น \((x_{i})\) จำนวนคนงาน\((f_{i})\) ความถี่สะสม \(f_{i}x_{i}\) \(|x_{i}-\bar{X}|\) \(f_{i}|x_{i}-\bar{X}|\) 1500-1599 1549.5 20 20 30990 252.5 5050 1600-1699 1649.5 70 90 115465 152.5 10675 1700-1799 1749.5 120 210 209940 52.5 6300 1800-1899 1849.5 100 310 184950 47.5 4750 1900-1999 1949.5 60 370 116970 147.5 8850 2000-2099 2049.5 20 390 40990 247.5 4950 2100-2199 2149.5 10 400 21495 347.5 3475 total 400 total 720800 total 44050 จากตาราง จะได้ว่า
\(\bar{X}=\frac{720800}{400}=1802\)
ตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}\times 400=100\)
ดังนั้น \(Q_{1}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 3 การหาควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่อ่านได้ตามลิงค์นี้นะครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะได้
\(Q_{1}=1699.5+\left(\frac{100-90}{120}\right)\times 100=1707.83\)
ต่อไป
ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}\times 400=300\)
ดังนั้น \(Q_{3}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 4 จะได้
\(Q_{3}=1799.5+\left(\frac{300-210}{100}\right)\times 100=1889.5\)
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเท่ากับ
\(\frac{1889.5-1707.83}{2}=\frac{181.67}{2}=90.835\) บาท
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็นำข้อมูลในตารางมาแทนค่าในสูตรเลยครับเพราะในตารางเราเตรียมข้อมูลไว้เรียบร้อยแล้วครับ
จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเฉลี่ย
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{44050}{400}\\&=&110.125\quad บาท\end{array}
พิสัยเทากับ 2199.5-1499.5=700 บาท
เปรียบเทีบบค่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับค่าพิสัยจะพบว่าพิสัยมีค่าสูงกว่าส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมากครับ
2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีครู 8 คน ซึ่งมีเงินเดือนดังนี้
8430 , 9550 , 17920 , 19400 , 20290 , 20710 , 30210 , 32740
จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่ จะได้
\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{8430 + 9550 + 17920 + 19400 + 20290+ 20710 + 30210+ 32740 }{8}\\&=&19906.25\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้
\(|8430-19906.25|=11476.25\)
\(|9550-19906.25|=10356.25\)
\(|17920-19906.25|=1986.25\)
\(|19400-19906.25|=506.25\)
\(|20290 -19906.25|=383.75\)
\(|20710-19906.25|=803.75\)
\(|30210-19906.25|=10303.75\)
\(|32740-19906.25|=12833.75\)
เพราะฉะนั้นจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}&=&\frac{11476.25+10356.25+1986.25+506.25+383.75+803.75+10303.75+12833.75}{8}\\&=&6081.25\end{array}
นั่นคือ ส่วนเบนเบนเฉลี่ยของเงินเดือนครูโรงเรียนแห่งนี้เท่ากับ 6081.25 บาท
3.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)
และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า
\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)
ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}
และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)
ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า
\(|44-53|=9\)
\(|50-53|=3\)
\(|65-53|=12\)
ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)
ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
-
เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วันนี้ผมจะพาทุกคนทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ ซึ่งก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าที่แสดงถึงการกระจายของข้อมูลครับ ที่ส่วนเบียงเบนมากแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อยครับ ซึ่งสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถแบ่งได้ดังนี้คือ
1. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นประชากร คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เลือกใช้สูตรไหนก็ได้ครับขึ้นอยู่กับโจทย์
เมื่อ \(\mu\) คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
2. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่าง คือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\end{array}
เมื่อ \(\bar{x}\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง
มาดูโจทย์กันเลยครับ
1.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จำนวน ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ 48 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่าเท่ากับ 3 แล้วผลรวมของกำลังสองของข้อมูลมีค่าเท่าใด (360)
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามตรงๆเลยครับไม่ยาก ก็คือถามหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\) ดังนั้นควรใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เนื่องจากผลรวมข้อข้อมูลเท่ากับ 48 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะหาได้คือ \(\mu=\frac{48}{8}=6\) แทนค่าทั้งหมดลงไปในสูตรด้านบนจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-6^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-36\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}&=&45\\\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}&=&360\end{array}
ข้อนี้ตอบ 360
2.นักเรียน 2 คนสอบได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 60 คะแนน มีพิสัยเป็น 10 คะแนนแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง 2 คนมีค่าเท่าใด (5)
วิธีทำ ข้อนี้ค่อยๆทำตามที่โจทย์บอกมาครับ ให้คะแนนสอบนักเรียนสองคนเรียงจากน้อยไปหามากเป็น a,b จากโจทย์จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\60&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&120\quad \cdots (1)\end{array}
พิสัยมีค่าเป็น 10 คะแนนดังนั้นจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}b-a&=&10 \cdots (2)\end{array}
นำ \( (2)+(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2b&=&130\\b&=&65\end{array}
ดังนั้นจะได้ \(a=55\) จึงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนสองคนนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}\\\sigma&=&\sqrt{\frac{(65-60)^{2}+(55-60)^{2}}{2}}\\\sigma&=&5\end{array}
3. นักเรียน 2 คนสอบวิชาสถิติ มีคะแนนเฉลี่ยเป็น 75 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น 10 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนทั้งสองมีค่าเท่าใด (10)
วิธีทำ ข้อนี้ก็ทำตามที่โจทย์บอกมาเลยครับ ให้ a,b เป็นคะแนนสอบนักเรียนที่เรียงจากน้อยไปมากจะได้
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\75&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&150\end{array}
ดังนั้น \(b=150-a\)
จากโจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 10 จากสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu|}{N}\\จะได้\\10&=&\frac{|a-75|+|b-75|}{2}\\10&=&\frac{|a-75|+|150-a-75|}{2}\\|a-75|+|150-a-75|&=&20\\-(a-75)+150-a-75&=&20\\-2a+150&=&20\\-2a&=&-130\\a&=&65\end{array}
ดังนั้น
\(b=85\)
เมื่อหา ค่าของ \(a,b\) ได้แล้วก็สามารถหาส่วนเบี่ยงเบนได้ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{(a-75)^{2}+(b-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{\frac{(65-75)^{2}+(85-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{100}\\&=&10\end{array}
4.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้ a,3,5,7,b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ\(2\sqrt{10}\) แล้วค่าของ 2a+b เท่ากับเท่าใด (ข้อ 40 Pat 1 มี.ค. 57)
วิธีทำ ข้อนี้ทำตามที่โจทย์บอกเลยครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\frac{a+3+5+7+b}{5}&=&7\\a+b+15&=&35\\a+b&=&20\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(b=20-a\)
และโจทย์บอกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาคือเท่า \(2\sqrt{10}\) ดังนั้นจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\\2\sqrt{10}&=&\sqrt{\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}}\\40&=&\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}\\200&=&(a-7)^{2}+16+4+(20-a-7)^{2}\\200-20&=&(a-7)^{2}+(13-a)^{2}\\180&=&a^{2}-14a+49+169-26a+a^{2}\\180&=&2a^{2}-40a+218\\90&=&a^{2}-20a+109\\0&=&a^{2}-20a+19\\0&=&(a-1)(a-19)\\so\\a=1,a=19\end{array}
แต่ต้องใช้ \(a=1\) นะครับเพราะว่า \(a\) ต้องน้อยกว่า 3 นะ ดูที่โจทย์เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากคือ a,3,5,7,b
นั่นคือ \(a=1\) จะได้ \(b=20-a=20-1=19\)
นั่นคือ ค่าของ \(2a+b=2(1)+19=21\) นั่นเองครับ ไม่ยากเท่าไรนะ
5.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน(ประชากร) เท่ากับ 600 ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน ความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับเท่าใด
(ข้อ 42 Pat1 มี.ค.53)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครคิดไม่ออกก็ค่อยๆดูเฉลยครับ ผมจะหาจำนวนคนที่เข้าสอบหรือก็คือหา N ก่อนนะครับ เริ่มเลย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนนนั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบ}{N}&=&72\\ผลรวมของคะแนนสอบ&=&72N\end{array}
ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน}{N+1}=70\\ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน&=&70(N+1)\end{array}
คนที่มาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำคะแนนสอบได้ 60 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}70(N+1)-72N&=&60\\70N+70-72N&=&60\\-2N&=&-10\\N&=&5\end{array}
นั่นก็คือมีคนเข้าสอบทั้งหมด 5 คนนั่นเองครับ
และโจทย์บอกอีกว่าตอนสอบไปครั้งแรกความแปรปรวนเท่ากับ 600 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}600&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{5}-72^{2}\\600+72^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=5}x_{i}^{2}}{5}\\5784\times 5&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&28920\end{array}
เก็บไว้ก่อนครับ ไปดูต่อ ต่อไปโจทย์บอกว่ามีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนและให้หาความแปรปรวนหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนครับจะได้ความแปรปรวนหาได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{28920+(60)^{2}}{6}-70^{2}\\&=&520\end{array}
นั่นคือหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำให้ความแปรปรวนมีค่าเป็น 520
6.ถ้าความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้มีค่าเท่าใด (Pat1 ก.ค.52 ข้อ 40)
- \(90\pi\)
- \(95\pi\)
- \(140\pi\)
- \(340\pi\)
วิธีทำ ข้อนีักำหนดให้ วงกลมแต่ละวงมีรัศมียาวเท่ากับ \(r_{i}\) ดงนั้นจะได้ว่าพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงคือ
\begin{array}{lcl}\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi r_{3}^{2}+...+\pi r_{i}^{2}+...+\pi r_{10}^{2}&=&\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...r_{i}^{2}+...+r_{10}^{2})\\&=&\pi\displaystyle\sum_{i=1}^{10} r_{i}^{2}\quad (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\)ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่าความแปรปรวนของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับ 5 นั่นคือ จะได้
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-\mu^{2}\\5&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-3^{2}\\5+9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}&=&140\end{array}
เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \(1\) จึงได้ว่าสมวงกลม 10 วงนี้มีพื้นที่เท่ากับ
\(140\pi\) ตารางหน่วย นั่นเองครับ
7. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{11}\) เป็นข้อมูล 11 จำนวนซึ่งเรียงค่าจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 5.2 โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=42.8\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET มี.ค.52 ข้อ 24)
- 1. 100
- 2. 114.28
- 3. 142.28
- 4. 157.20
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องออกแรกเขียนเยอะหน่อยครับ ข้อนี้จากโจทย์จะได้ว่า มัธยฐานคือ \(x_{6}\) นั่นเอง ดังนั้นจะได้ว่า \(\bar{x}=x_{6}\) ทำต่อเลยครับเริ่มจากสิ่งที่โจทย์บอกนั่นแหละครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_{i}}{11}&=&x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}\\42.8+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}&=&11x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8 \quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่า \(M.D.=5.2\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\\5.2&=&\frac{|x_{1}-x_{6}|+|x_{2}-x_{6}|+\cdots +|x_{1}-x_{11}|}{11}\\5.2\times 11&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+(x_{6}-x_{6})+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+0+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+5x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}-5x_{6}\\57.2&=&-42.8+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}\\\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&100\quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการ \((1)\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+100&=&11x_{6}-42.8\\10x_{6}&=&142.8\\x_{6}&=&14.28\end{array}
เริ่มหาคำตอบกันครับ โจทย์บอกให้หาค่า \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\)
จากสมการที่ \((1)\) และค่าของ \(x_{6}\) ที่เราหาไว้แล้วเราก็จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\&=&11(14.28)-42.8\\&=&114.28\end{array}
8. ลูกเต๋า 3 ลูก มีความยาวของด้านแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร และทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของด้านของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกมีค่าเท่าใด
วิธีทำ ให้ลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก มีความยาวด้านเท่ากับ a,b และ c ตามลำดับ
โจทย์บอกว่า ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร นั่นคือ \[a+b+c=6\quad\cdots (1)\]
โจทย์บอกอีกว่า ทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร ตรงนี้ถ้าใครเคยเห็นลูกเต๋า จะเห็นว่าลูกเต๋ามีทั้งหมด 6 หน้า และเราให้ลูกเต๋าลูกแรกมีความยาวด้านเท่ากับ \(a\) ดั้งนั้นเราสามารถหาพื้นที่หน้าลูกเต่าได้คือ
เอาด้าน คูณ ด้าน นั่นก็คือ \(a\times a\) แต่ลูกเต๋ามันมี 6 หน้าดังนั้นพื้นที่ของลูกเต่าทั้งลูกคือ \(6a^{2}\) และอีกสองลูกที่เหลือก็ทำเหมือนกันก็จะมีพื้นที่เป็น \(6b^{2}\) และ \(6c^{2}\) ตามลำดับ นั่นคือมีพื้นที่รวมกัน
\begin{array}{lcl}6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}&=&84\\6(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=&84\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\frac{84}{6}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&14 \quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการที่สองเราสามารถเขียนใหม่ได้นะก็คือ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}=14\]
ดังนั้นจาก สมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามรถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แล้วครับ โดยหาจากสูตรนี้ครับ
\[\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]
จากสูตรนะครับ จะเห็นว่า \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรในที่นี้ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวด้านของลูกเต๋านั้นเองครับจะได้
\[\mu=\frac{a+b+c}{3}=\frac{6}{3}=2\]
เอาไปแทนค่าในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{14}{3}-2^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{14}{3}-4}\\&=&\sqrt{\frac{14-12}{3}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{3}}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
วันนี้ผมจะพาทุกคนทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ ซึ่งก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าที่แสดงถึงการกระจายของข้อมูลครับ ที่ส่วนเบียงเบนมากแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อยครับ ซึ่งสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถแบ่งได้ดังนี้คือ
1. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นประชากร คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เลือกใช้สูตรไหนก็ได้ครับขึ้นอยู่กับโจทย์
เมื่อ \(\mu\) คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
2. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่าง คือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\end{array}
หรือ
\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\end{array}
เมื่อ \(\bar{x}\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง
มาดูโจทย์กันเลยครับ
1.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จำนวน ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ 48 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่าเท่ากับ 3 แล้วผลรวมของกำลังสองของข้อมูลมีค่าเท่าใด (360)
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามตรงๆเลยครับไม่ยาก ก็คือถามหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\) ดังนั้นควรใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}
เนื่องจากผลรวมข้อข้อมูลเท่ากับ 48 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะหาได้คือ \(\mu=\frac{48}{8}=6\) แทนค่าทั้งหมดลงไปในสูตรด้านบนจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-6^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-36\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}&=&45\\\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}&=&360\end{array}
ข้อนี้ตอบ 360
2.นักเรียน 2 คนสอบได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 60 คะแนน มีพิสัยเป็น 10 คะแนนแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง 2 คนมีค่าเท่าใด (5)
วิธีทำ ข้อนี้ค่อยๆทำตามที่โจทย์บอกมาครับ ให้คะแนนสอบนักเรียนสองคนเรียงจากน้อยไปหามากเป็น a,b จากโจทย์จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\60&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&120\quad \cdots (1)\end{array}
พิสัยมีค่าเป็น 10 คะแนนดังนั้นจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}b-a&=&10 \cdots (2)\end{array}
นำ \( (2)+(1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2b&=&130\\b&=&65\end{array}
ดังนั้นจะได้ \(a=55\) จึงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนสองคนนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}\\\sigma&=&\sqrt{\frac{(65-60)^{2}+(55-60)^{2}}{2}}\\\sigma&=&5\end{array}
3. นักเรียน 2 คนสอบวิชาสถิติ มีคะแนนเฉลี่ยเป็น 75 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น 10 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนทั้งสองมีค่าเท่าใด (10)
วิธีทำ ข้อนี้ก็ทำตามที่โจทย์บอกมาเลยครับ ให้ a,b เป็นคะแนนสอบนักเรียนที่เรียงจากน้อยไปมากจะได้
\begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\75&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&150\end{array}
ดังนั้น \(b=150-a\)
จากโจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 10 จากสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu|}{N}\\จะได้\\10&=&\frac{|a-75|+|b-75|}{2}\\10&=&\frac{|a-75|+|150-a-75|}{2}\\|a-75|+|150-a-75|&=&20\\-(a-75)+150-a-75&=&20\\-2a+150&=&20\\-2a&=&-130\\a&=&65\end{array}
ดังนั้น
\(b=85\)
เมื่อหา ค่าของ \(a,b\) ได้แล้วก็สามารถหาส่วนเบี่ยงเบนได้ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{(a-75)^{2}+(b-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{\frac{(65-75)^{2}+(85-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{100}\\&=&10\end{array}
4.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้ a,3,5,7,b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ\(2\sqrt{10}\) แล้วค่าของ 2a+b เท่ากับเท่าใด (ข้อ 40 Pat 1 มี.ค. 57)
วิธีทำ ข้อนี้ทำตามที่โจทย์บอกเลยครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}\frac{a+3+5+7+b}{5}&=&7\\a+b+15&=&35\\a+b&=&20\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(b=20-a\)
และโจทย์บอกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาคือเท่า \(2\sqrt{10}\) ดังนั้นจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\\2\sqrt{10}&=&\sqrt{\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}}\\40&=&\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}\\200&=&(a-7)^{2}+16+4+(20-a-7)^{2}\\200-20&=&(a-7)^{2}+(13-a)^{2}\\180&=&a^{2}-14a+49+169-26a+a^{2}\\180&=&2a^{2}-40a+218\\90&=&a^{2}-20a+109\\0&=&a^{2}-20a+19\\0&=&(a-1)(a-19)\\so\\a=1,a=19\end{array}
แต่ต้องใช้ \(a=1\) นะครับเพราะว่า \(a\) ต้องน้อยกว่า 3 นะ ดูที่โจทย์เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากคือ a,3,5,7,b
นั่นคือ \(a=1\) จะได้ \(b=20-a=20-1=19\)
นั่นคือ ค่าของ \(2a+b=2(1)+19=21\) นั่นเองครับ ไม่ยากเท่าไรนะ
5.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน(ประชากร) เท่ากับ 600 ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน ความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับเท่าใด
(ข้อ 42 Pat1 มี.ค.53)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครคิดไม่ออกก็ค่อยๆดูเฉลยครับ ผมจะหาจำนวนคนที่เข้าสอบหรือก็คือหา N ก่อนนะครับ เริ่มเลย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนนนั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบ}{N}&=&72\\ผลรวมของคะแนนสอบ&=&72N\end{array}
ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน}{N+1}=70\\ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน&=&70(N+1)\end{array}
คนที่มาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำคะแนนสอบได้ 60 คะแนน นั่นหมายความว่า
\begin{array}{lcl}70(N+1)-72N&=&60\\70N+70-72N&=&60\\-2N&=&-10\\N&=&5\end{array}
นั่นก็คือมีคนเข้าสอบทั้งหมด 5 คนนั่นเองครับ
และโจทย์บอกอีกว่าตอนสอบไปครั้งแรกความแปรปรวนเท่ากับ 600 นั่นคือ
\begin{array}{lcl}600&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{5}-72^{2}\\600+72^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=5}x_{i}^{2}}{5}\\5784\times 5&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&28920\end{array}
เก็บไว้ก่อนครับ ไปดูต่อ ต่อไปโจทย์บอกว่ามีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนและให้หาความแปรปรวนหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนครับจะได้ความแปรปรวนหาได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{28920+(60)^{2}}{6}-70^{2}\\&=&520\end{array}
นั่นคือหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำให้ความแปรปรวนมีค่าเป็น 520
6.ถ้าความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้มีค่าเท่าใด (Pat1 ก.ค.52 ข้อ 40)
- \(90\pi\)
- \(95\pi\)
- \(140\pi\)
- \(340\pi\)
วิธีทำ ข้อนีักำหนดให้ วงกลมแต่ละวงมีรัศมียาวเท่ากับ \(r_{i}\) ดงนั้นจะได้ว่าพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงคือ
\begin{array}{lcl}\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi r_{3}^{2}+...+\pi r_{i}^{2}+...+\pi r_{10}^{2}&=&\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...r_{i}^{2}+...+r_{10}^{2})\\&=&\pi\displaystyle\sum_{i=1}^{10} r_{i}^{2}\quad (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\)ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่าความแปรปรวนของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับ 5 นั่นคือ จะได้
\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-\mu^{2}\\5&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-3^{2}\\5+9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}&=&140\end{array}
เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \(1\) จึงได้ว่าสมวงกลม 10 วงนี้มีพื้นที่เท่ากับ
\(140\pi\) ตารางหน่วย นั่นเองครับ
7. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{11}\) เป็นข้อมูล 11 จำนวนซึ่งเรียงค่าจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 5.2 โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=42.8\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET มี.ค.52 ข้อ 24)
1. 100
2. 114.28
3. 142.28
4. 157.20
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องออกแรกเขียนเยอะหน่อยครับ ข้อนี้จากโจทย์จะได้ว่า มัธยฐานคือ \(x_{6}\) นั่นเอง ดังนั้นจะได้ว่า \(\bar{x}=x_{6}\) ทำต่อเลยครับเริ่มจากสิ่งที่โจทย์บอกนั่นแหละครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_{i}}{11}&=&x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}\\42.8+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}&=&11x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8 \quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่า \(M.D.=5.2\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\\5.2&=&\frac{|x_{1}-x_{6}|+|x_{2}-x_{6}|+\cdots +|x_{1}-x_{11}|}{11}\\5.2\times 11&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+(x_{6}-x_{6})+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+0+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+5x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}-5x_{6}\\57.2&=&-42.8+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}\\\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&100\quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการ \((1)\) คือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+100&=&11x_{6}-42.8\\10x_{6}&=&142.8\\x_{6}&=&14.28\end{array}
เริ่มหาคำตอบกันครับ โจทย์บอกให้หาค่า \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\)
จากสมการที่ \((1)\) และค่าของ \(x_{6}\) ที่เราหาไว้แล้วเราก็จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\&=&11(14.28)-42.8\\&=&114.28\end{array}
8. ลูกเต๋า 3 ลูก มีความยาวของด้านแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร และทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของด้านของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกมีค่าเท่าใด
วิธีทำ ให้ลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก มีความยาวด้านเท่ากับ a,b และ c ตามลำดับ
โจทย์บอกว่า ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร นั่นคือ \[a+b+c=6\quad\cdots (1)\]
โจทย์บอกอีกว่า ทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร ตรงนี้ถ้าใครเคยเห็นลูกเต๋า จะเห็นว่าลูกเต๋ามีทั้งหมด 6 หน้า และเราให้ลูกเต๋าลูกแรกมีความยาวด้านเท่ากับ \(a\) ดั้งนั้นเราสามารถหาพื้นที่หน้าลูกเต่าได้คือ
เอาด้าน คูณ ด้าน นั่นก็คือ \(a\times a\) แต่ลูกเต๋ามันมี 6 หน้าดังนั้นพื้นที่ของลูกเต่าทั้งลูกคือ \(6a^{2}\) และอีกสองลูกที่เหลือก็ทำเหมือนกันก็จะมีพื้นที่เป็น \(6b^{2}\) และ \(6c^{2}\) ตามลำดับ นั่นคือมีพื้นที่รวมกัน
\begin{array}{lcl}6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}&=&84\\6(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=&84\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\frac{84}{6}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&14 \quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการที่สองเราสามารถเขียนใหม่ได้นะก็คือ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}=14\]
ดังนั้นจาก สมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามรถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แล้วครับ โดยหาจากสูตรนี้ครับ
\[\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]
จากสูตรนะครับ จะเห็นว่า \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรในที่นี้ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวด้านของลูกเต๋านั้นเองครับจะได้
\[\mu=\frac{a+b+c}{3}=\frac{6}{3}=2\]
เอาไปแทนค่าในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{14}{3}-2^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{14}{3}-4}\\&=&\sqrt{\frac{14-12}{3}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{3}}\quad\underline{Ans}\end{array}
แบบฝึกหัดมาเสริมครับ เป็นแบบฝึกหัดที่เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นโจทย์ที่เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต โจทย์อาจจะยากนะคับต้องตั้งใจอ่านนิดหนึ่ง
9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ
\(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots (1)\)
จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots (2)\)
และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}
สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้
\[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]
ทำต่อเลยคับจะได้
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\) จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ
\[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]
จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]
ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)
\(\bar{X}=15\)
เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}
11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)
วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3 เราจะได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}
12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)
และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า
\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)
ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}
และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)
ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า
\(|44-53|=9\)
\(|50-53|=3\)
\(|65-53|=12\)
ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)
ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ
\(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)
จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\) และได้ว่า
\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
\(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}
พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร
ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}
สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้
เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด
โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด
แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด