การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นการหาค่ากลางของข้อมูล  ซึ่งเชื่อว่าหลายคนโดยเฉพราะ ม.5 น่าจะหาได้ดังนั้นในบทความนี้จึงไม่ขออธิบายอะไรมากแต่จะนำโจทย์ที่เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาพาทำ ใครอ่านไม่เข้าใจก็พยายามอ่านหลายๆรอบแลัวกัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ย คือ จำนวนที่ได้จากผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนชุดของข้อมูล 

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าเฉลี่ยคือ \(\overline{x}\)

1. ห้องเรียนห้องหนึ่งมีนักเรียนชายสูงโดยเฉลี่ย 172  เซนติเมตร ส่วนนักเรียนหญิงเฉลี่ยสูง 152 เซนติเมตร ถ้านักเรียนห้องนี้เฉลี่ยสูง  160 เซนติเมตร อัตราส่วนจำนวนชายต่อจำนวนนักเรียนหญิงเป็นเท่าใด

วิธีทำข้อนี้เป็นเรื่องของ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ไม่ยากมากนัก ลองๆอ่านกันดูนะคับ

กำหนดให้

\(\sum M\) คือความสูงรวมของนักเรียนชายทั้งหมด

\(M\) คือจำนวนนักเรียนชายทั้งหมด

\(\sum F\) คือความสูงรวมของนักเรียนหญิงทั้งหมด

\(F\) คือ จำนวนนักเรียนหญิงทั้งหมด

จากโจทย์เราจะได้ว่า

\(172=\frac{\sum M}{M}\) จะได้ \(\sum M=172M\)

\(152=\frac{\sum F}{F}\) จะได้ \(\sum F=152F\)

และจากโจทย์จะได้ความสูงรวมของนักเรียนทั้งห้องคือ 

\(\frac{\sum M+\sum F}{M+F}=160\quad \cdots (1)\)

ลองเอาสมการ \((1)\) ไปจัดดูจะได้แบบนี้

\begin{array}{lcl}\frac{\sum M+\sum F}{M+F}&=&160\\\sum M+\sum F&=&160(M+F)\\172M+152F&=&160M+160F\\172M-160M&=&160F-152F\\12M&=&8F\\\frac{M}{F}&=&\frac{8}{12}\\\frac{M}{F}&=&\frac{2}{3}\end{array}

นั่นก็คืออัตราส่วนจำนวนนักเรียนชายต่อจำนวนนักเรียนหญิงเท่ากับ \(2:3\)

27. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามากดังนี้ \(1,1,1,a,4,4,5,6,8,10,b\) ค่าฐานนิยมมีค่าเดียว และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(5\) แล้ว \(b-a\) จะมีค่าเป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดเท่ากับเท่าใด

1. 7
2. 8
3. 9
4. 10

วิธีทำ เรามาวิเคราะห์โจทย์ข้อนี้คร่าวๆก่อน จะเห็นได้ว่า ค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(1,2,\) และ \(3\)  จะเห็นว่า \(a\) เป็น \(4\) ไม่ได้นะคับ เพราะจะทำข้อมูลนี้มีฐานนิยม 2 ตัว  ที่เราก็เริ่มทำจากสิ่งที่โจทย์ให้มาก่อนคือ ค่าเฉลี่ยข้อมูลชุดนี้เท่ากับ \(5\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\frac{1+1+1+a+4+4+5+6+8+10+b}{11}&=&5\\\frac{40+a+b}{11}&=&5\\a+b&=&(5\times 11)-40\\a+b&=&15\end{array}

จะเห็นได้ว่าข้อนี้ เมื่อนำ \(a\) ไปบวกกับ \(b\) ค่าที่ได้ต้องเท่ากับ 15 เท่านั้น ฉะนั้น

ถ้าผมให้ \(b=10\) จะได้ \(a=5\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่ \(a\) จะเท่ากับ 5 เพราะข้อมูลโจทย์บอกว่าเรียงจากน้อยไปมาก กรณีนี้ยกเลิกไป

ถ้าผมให้ \(b=11\) จะได้ \(a=4\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่ \(a\) จะเท่ากับ 4 เพราะว่าจะทำให้ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยมสองตัวครับ

ถ้าผมให้ \(b=12\) จะได้ \(a=3\) ซึ่งเป็นไปได้ ดังนั้น \(b-a=12-3=9\)

ถ้าผมให้ \(b=13\) จะได้ \(a=2\) ซึ่งเป็นไปได้ ดังนั้น \(b-a=13-2=11\)

ถ้าผมให้ \(b=14\) จะได้ \(a=1\) ซึ่งเป็นไปได้ ดังนั้น \(b-a=14-1=13\)

ถ้าผมให้ \(b=15\) จะได้ว่า \(a=0\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่า \(a\) ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ขึ้นไช่ไหม

ดังนั้น \(b-a\) ที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มน้อยสุดคือ เท่ากับ \(9\) นั่นเองคับ