-
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องเวกเตอร์
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องเวกเตอร์
-
เฉลย Pat 1 เรื่องเวกเตอร์
1. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54/36)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ
จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\)
จากโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}
จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)
และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)
นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)
ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย
\begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}
จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)
จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)
นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)
2. กำหนดให้ \(A,B,C\) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม \(P\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(AC\) \(Q\) อยู่บน \(AB\) ทำให้ \(AQ:QB=1:2\) ถ้า \(\vec{AB}=6\vec{i}-3\vec{j}\) และ \(\vec{BC}=2\vec{i}+3\vec{j}\) จงหา \(\vec{PQ}\) (Pat 1 ธ.ค. 54/13)
วิธีทำ ข้อสอบแบบนี้ต้องวาดรูปนะคับแล้วค่อยๆไปไล่ดูว่า \(\vec{PQ}\) เกิดจากเวกเตอร์อะไรบ้างบวกกันคับ เริ่มเลยนะคับ
จากรูปจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{PQ}&=&\vec{PA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}\vec{CA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\vec{CB}+\vec{BA})+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix})+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-8\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-1\end{bmatrix}\\&=&-2\vec{i}-\vec{j}\quad\underline{Ans}\end{array}
อธิบายเพิ่มเติมจากสมการข้างบนนะคับ
การหาเวกเตอร์ \(\vec{AQ}\)
\begin{array}{lcl}\vec{AQ}&=&\frac{1}{3}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\end{array}
การหาเวกเตอร์ \(\vec{CB}\)
\begin{array}{lcl}\vec{CB}&=&-\vec{BC}\\&=&-(2\vec{i}+3\vec{j})\\&=&-2\vec{i}-3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}\end{array}
การหาเวกเตอร์ \(\vec{BA}\)
\begin{array}{lcl}\vec{BA}&=&-\vec{AB}\\&=&-(6\vec{i}-3\vec{j})\\&=&-6\vec{i}+3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix}\end{array}
3. กำหนดให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ถ้า \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\) โดยที่ \(\vec{w}\) มีทิศเดียวกันกับ \(\vec{u}\) และ \(|\vec{w}|=10\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (A-NET 49)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ A-NET นะคับ ไม่ยาก ง่ายๆคับ โจทย์บอกว่าสองเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกันแสดงว่า เวกเตอร์นี้ต้องขนานกันแบบมีทิศทางเดียวกัน
เนื่องจาก \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\|\vec{u}|&=&\sqrt{25}\\|\vec{u}|&=&5\end{array}
จากที่ \(|\vec{u}|=5\) และ \(|\vec{w}|=10\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\(\vec{w}=2\vec{u}\) นั่นเองคับผมจากตรงนี้แหละเราจะเอาไปหาคำตอบกันครับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}\vec{w}&=&2\vec{u}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&2\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}\end{array}
นั่นคือ
\(a=6\) และ \(b=8\)
ดังนั้น \(a+b=6+8=14\quad\underline{Ans}\)
4.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี \(D\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) และ \(F\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\) ถ้า \(\vec{AD}=\frac{1}{4}\vec{AC}\quad , \vec{BF}=\frac{1}{3}\vec{BC}\) และ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) แล้ว \(\frac{a}{b}\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปออกมานะคับถึงจะทำข้อสอบได้ง่าย ใครวาดรูปไม่เป็นบอกเลยว่ายากคับ จากรูปเราเราจะได้ว่า
\[\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\]
เราต้องจัด \(\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\) ให้อยู่ในรูปของ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) เพื่อที่จะได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมา ใครที่ยังไม่เข้าใจ ก็ลองอ่านตามมาคับ
\begin{array}{lcl}\vec{DF}&=&\vec{DC}+\vec{CF}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AC}+\frac{2}{3}\vec{CB}\\&=&\frac{3}{4}[\vec{AB}+\vec{BC}]-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{BC}-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\end{array}
ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่า
\[\vec{DF}=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\]
ดังนั้น \(a=\frac{3}{4}\) และ \(b=\frac{1}{12}\)
นั่นคือ \(\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\times 12=9\quad\underline{Ans}\)
5. กำหนดให้ \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(M\) เป็นจุดบนด้าน \(AD\) ซึ่ง \(\vec{AM}=\frac{1}{5}\vec{AD}\) และ \(N\) เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม \(AC\) ซึ่ง \(\vec{AN}=\frac{1}{6}\vec{AC}\) ถ้า \(\vec{MN}=a\vec{AB}+b\vec{AD}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค. 52 /24)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปในคับถึงจะมองเห็นภาพ แล้วก็เริ่มหาว่า เจ้าเวกเตอร์ \(\vec{MN}\) นั้นมันเกิดจากเส้นไหนบวกกันบ้าง ซึ่งจากรูปเราจะเห็นว่า \(\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\) ซึ่งบางคนอาจจะมองไม่เหมือนผมก็ได้นะ เพราะมันบวกได้หลายทาง เมื่อเราได้แบบนี้แล้วต่อไปเราก็จะแปลงไปแปลงมาเพื่อให้ได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมาคับ เริ่มทำกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\vec{MN}&=&\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{DA}+\vec{BA}+\vec{AN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}-\vec{AB}+\vec{DA}+\frac{1}{6}\vec{AC}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}-\vec{AD}+\frac{1}{6}(\vec{AD}+\vec{AB})\\&=&-\frac{1}{5}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{6}\vec{AB}-\frac{1}{30}\vec{AD}\quad\cdots (1)\end{array}
จาก \((1)\) เราคงเห็นแล้วว่า \(a=\frac{1}{6}\) และ \(b=-\frac{1}{30}\) ดังนั้น
\(a+b=\frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{2}{15}\quad\underline{AnS}\)
จากสมการข้างบนจะอธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งเผื่อบางคนยังไม่รู้หรือว่าลืมๆแล้วก็คือ
\(\vec{BA}=-\vec{AB}\)
\(\vec{DA}=-\vec{AD}\)
6. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ \(|\vec{u}|=1\quad ,|\vec{v}=3\) และ \(\vec{u}\) ทำมุม \(60^{\circ}\) กับ \(\vec{v}\) ค่าของ \(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค.54/15)
วิธีทำ ข้อสอบพวกนี้ต้องจำสูตรให้ได้คับ แล้วก็แก้สมการเป็นด้วย สูตรที่ต้องใช้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องผลคูณเชิงสเกลาร์ สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ซึ่งก็คือ
\[|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\]
\[|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}\]
\[\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\]
ใช้สูตรพวกนี้แหละคับผม มาเริ่มทำกันเลย
ขั้นตอนแรกหา \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) ก่อนคับ
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(1)(3)\cos 60^{\circ}\\&=&(1)(3)(\frac{1}{2})\\&=&\frac{3}{2}\end{array}
ขั้นตอนที่ 2 หา \(|\vec{u}+\vec{v}|\)
\begin{array}{lcl}|\vec{u}+\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\\&=&1^{2}+3^{2}+2(\frac{3}{2})\\&=&1+9+3\\&=&13\\so\\|\vec{u}+\vec{v}|&=&\sqrt{13}\end{array}
ขั้นตอนที่ 3 หา \(|2\vec{u}-\vec{v}|\)
\begin{array}{lcl}|2\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|2\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(2\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&2^{2}(1)^{2}+9-4(\frac{3}{2})\\&=&13-6\\&=&7\\so\\|2\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{7}\end{array}
เพราะฉะนั้น
\(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}\quad\underline{AnS}\)
7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด (PAT 1 ก.ค. 52/24)
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ
ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ
\begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}
12. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\) ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (วิชาสามัญ 55)
- -27
- -19
- 0
- 19
- 27
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ
จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)
เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\) ซึ่ง
\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม
\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม
อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)
จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}
ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}
-
เฉลยคณิตศาสตร์ A-level เรื่องเวกเตอร์
1.กำหนดให้ \(\theta\) เป็นมุนระหว่างเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)
ถ้า \(\vec{u}\cdot \vec{v}=\sqrt{3}\) และ \(|\vec{u}\times \vec{v}|=1\) แล้ว \(sin^{2}\theta\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อสอบเวกเตอร์ต้องจำสูตรให้ได้ เพราะใช้สูตรเยอะมาก ซึ่งในข้อนี้ใช้ 2 สูตรนี้
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\]
\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta\]
ดังนั้นจากโจทย์เราจึงได้ว่า
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta=\sqrt{3}\quad\cdots (1)\)
\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta=1\quad\cdots (2)\)
นำ \((2)\div (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta}{|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\tan\theta&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}
เนื่องจาก มุมระหว่างเวกเตอร์จะอยู่ระหว่าง \(0^{\circ}\) ถึง \(180^{\circ}\)
เนื่องจาก \(tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ดังนั้น \(\theta=30^{\circ}\)
ตอนนี้หาคำตอบได้แล้ว เพราะเรารู้ค่า \(\theta\) แล้ว
จึงได้คำตอบคือ
\begin{array}{lcl}sin^{2}\theta&=&sin^{2}30^{\circ}\\&=&(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}
2.ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ โดย \((\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\) แล้ว \(|3\vec{u}\times 3\vec{v}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{15}{4}\)
- \(\frac{15}{2}\)
- \(\frac{25}{3}\)
- \(\frac{35}{4}\)
- \(\frac{45}{2}\)
วิธีทำ แนะนำให้ไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนเพราะสูตรเยอะเรื่องเวกเตอร์ สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์ เริ่มทำเลยนะค่อยๆอ่านแล้วกัน
สมบัติที่ต้องใช้เยอะคือ
\(\vec{u}\times\vec{u}=0\)
\((\vec{u}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{u})\)
\begin{array}{lcl}(\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})&=&[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{u}]-[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{v}]\\&=&[(\vec{u}\times\vec{u})+(\vec{v}+\vec{u})]-[(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{v}\times\vec{v})]\\&=&(\vec{v}\times\vec{u})-(\vec{u}-\vec{v})\\&=&-(\vec{u}\times\vec{v})-(\vec{u}\times\vec{v})\\&=&-2(\vec{u}\times\vec{v})\end{array}
ดังนั้นจะได้
\begin{array}{lcl}-2(\vec{u}\times\vec{v})&=&2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\\|-2(\vec{u}\times\vec{v})|&=&|2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}|\\|-2||\vec{u}\times\vec{v}|&=&\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\\2|\vec{u}\times\vec{v}|&=&5\\|\vec{u}\times\vec{v}|&=&\frac{5}{2}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}|3\vec{u}\times3\vec{v}|&=&|(3)(3)(\vec{u}\times\vec{v})|\\&=&|(3)(3)||(\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9|\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9(\frac{5}{2})\\&=&\frac{45}{2}\end{array}
3. กำหนดให้ \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ถ้าเวกเตอร์ \(m\vec{a}+\vec{b}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(m\vec{a}-\vec{b}\) โดยที่ \(|\vec{a}|=2\) และ \(|\vec{b}|=5\) แล้ว \(m\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ต้องไปอ่าน สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ก่อนนะคับเรื่องเวกเตอร์ต้องใช้สูตรเยอะมาก เนื่องจากเวกเตอร์สองอันนี้ตั้งฉากกันดังนั้นดอทกันจะได้ 0 นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}(m\vec{a}+\vec{b})\cdot (m\vec{a}-\vec{b})&=&0\\m^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a})-m(\vec{a}\cdot\vec{b})+m(\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{b})&=&0\\m^{2}|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}&=&0\\m^{2}(2)^{2}-(5)^{2}&=&0\\4m^{2}-25&=&0\\m^{2}&=&\frac{25}{4}\\m&=&\pm\frac{5}{2}\\m&=&\pm 2.5\end{array}
เนื่องจาก \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(m=2.5\)
4. ถ้า \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\) และ \(\vec{v}\times\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}\) แล้วค่าของ \((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรหรือว่าสมบัตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้เลยไม่มีอะไรก็คือ
\((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\)
และอีกอันก็คือ \((\vec{w}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{w})\)
เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}&=&(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-1)(2)+(-2)(1)+(-4)(-3)\\&=&-2-2+12\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
5.กำหนดให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด \(A=(1,-4,-3)\) และ \(B=(3,-6,2)\) ถ้า \(C\) เป็นจุดบน \(OB\) ซึ่งทำให้ \(AC\) ตั้งฉากกับ \(OB\) แล้ว \(OC\) ยากเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ควรวาดรูปดูคร่าวๆก่อนนะคับก็จะได้รูปประมาณนี้
พิจารณาสามเหลี่ยม \(OCA\) จะได้ว่า \(cos\theta=\frac{|OC|}{|OA|}\) เราจึงได้ว่า \(|OC|=|OA|cos\theta\)
ต่อไปจากรูปเราจะเห็นว่า เวกเตอร์ \(\vec{OA}\) ทำมุม \(\theta\) กับเวกเตอร์ \(\vec{OB}\) ดังนัั้นจากความรู้ผลคูณเชิงสเกลาร์จึงได้ว่า \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|cos\theta\) นั่นก็คือ
\(\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}\)
ก่อนจะหาคำตอบ ผมมาทบทวนเกี่ยวกับเวกเตอร์นิดหนึ่ง
\(\vec{OB}=(3-0)\vec{i}+(-6-0)\vec{j}+(2-0)\vec{k}=3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k}\) ดังนั้น
\(|\vec{OB}|=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+36+4}=7\)
\(\vec{OA}=(1-0)\vec{i}+(-4-0)\vec{j}+(-3-0)\vec{k}=\vec{i}-4\vec{j}-3\vec{k}\) ดังนั้น
\(|\vec{OA}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}\)
และ\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=(3)(1)+(-6)(-4)+(2)(-3)=3+24-6=21\)
ต่อไปเอาข้อมูลข้างบนแทนค่าเพื่อหาคำตอบเลยครับ
\begin{array}{lcl}\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}&=&\frac{21}{7}\\&=&3\end{array}
ดังนั้น \(OC=3\quad\underline{Ans}\)
6. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ
จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\)
จากโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}
จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)
และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)
นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)
ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย
\begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}
จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)
จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)
นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)
7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด (PAT 1 ก.ค. 52/24)
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ
ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ
\begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}
12. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\) ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (วิชาสามัญ 55)
- -27
- -19
- 0
- 19
- 27
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ
จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)
เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\) ซึ่ง
\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม
\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม
อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)
จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}
ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}
-
เวกเตอร์(vector)
เราสามารถแบ่งปริมาณออกได้สองประเภทคือ ปริมาณเวคเตอร์ กับ ปริมาณสเกลลาร์ ปริมาณสองปริมาณนี้
มีความแตกต่างกันอย่างไร เรามาดูนิยามของปริมาณทั้งสองปริมาณนี้ดีกว่า
-
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ครูวิษณุเดินทางไปทิศใต้ด้วยระยะทาง 10 กิโลเมตร อย่างนี้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งการเขียนปริมาณเวกเตอร์ เราจะเขียนแทนด้วย ลูกศร ความยาวลูกศร คือขนาดของเวกเตอร์ ซึ่งการเขียนเวกเตอร์แทนด้วยลูกศรจะยุ่งยากต่อการนำเวกเตอร์มาคำนวณ ดังนั้นจึงมีการเขียนเวกเตอร์ให้อยู่ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งเราจะมาดูกันในบทความนี้ว่าเวกเตอร์ในระบบพิฉากนั้นเป็นอย่างไร
มาดูรูปบนก่อนนะครับ
จะเห็นว่า \(\vec{u}\) มีระยะทางแกน X ไปทางขวายาว 3 หน่วย
และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนยาว 4 หน่วย ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
3\\4
\end{bmatrix}\)ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{u}|\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)
ต่อไปดูรูปล่างนะครับ
จะเห็นว่า \(\vec{v}\) มีระยะทางแกน X ไปทางซ้ายยาว 3 หน่วย
และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านล่างยาว 3 หน่วย ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ
\(\vec{v}=\begin{bmatrix}
-3\\-3
\end{bmatrix}\)ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{v}|\)
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
หมายเหตุ
ถ้าระยะทางแกน X ไปทางขวาจะเป็นบวก
ถ้าระยะทางแกน X ไปทางซ้ายจะเป็นลบ
ถ้าระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนจะเป็นบวก
ถ้าระยะทางแทน Y ไปทางด้านล่างจะเป็นลบ
ดูรูปประกอบเอาเองนะครับไม่น่ายาก
จากรูปนะ เวกเตอร์ \(\vec{AB}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่พิกัด (2,2) และจุดสิ้นสุดที่พิกัด (6,5) ดังนั้นเวกเตอร์ \(\vec{AB}\) สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพิกัดฉากได้คือ
\(\vec{AB}=\begin{bmatrix}
6-2\\5-2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4\\3
\end{bmatrix}\)เป็นอย่างไรบ้าง concept ของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติไม่ยากและเราสามารถนำความตรงนี้ไปขยายใช้ได้กับเวกเตอร์ในระบบพิกัดสามมิติได้ด้วยจริงไหม
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเวกเตอร์
1.จงหาเวกเตอร์ที่ลากระหว่างจุดต่อไปนี้
1) จาก (1,3) ไปยัง (3,9)
วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
3-1\\9-3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\6
\end{bmatrix}\)
2) จาก (1,-1) ไปยัง (-1,1)
วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
-1-1\\1-(-1)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2\\2
\end{bmatrix}\)ต่อไปเราลองขยายความรู้ตรงนี้ไปศึกษา เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ บ้างลองอ่านดูนะครับ
2. เวกเตอร์ใดต่อไปนี้ขนานกับเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) ที่จุด (6,0)
ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\)
ข. \(3\vec{i}-4\vec{j}\)
ค. \(5\vec{i}-3\vec{j}\)
วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมที่จุด (6,0) ผมให้จุด (x,y) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้เราจะได้สมการเส้นตรงคือ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) แทนค่า x=6,y=0 จะได้
\(y-0=m(x-6)\)
\(y=m(x-6)\)
แต่เกิดปัญหาครับเราไม่สามารถหาความชันของเส้นตรงนี้ได้เพราะเรารู้พิกัดแค่พิกัดเดียวคือ (6,0) ต้องรู้สองพิกัดจึงจะหาความชันของเส้นตรงได้ครับ แต่อย่าพึ่งกลัวเขาให้วงกลมมาด้วยแสดงว่าต้องมีอะไรเกี่ยวกับวงกลมนี้แน่ครับก่อนอื่นหาจุดศูนย์กลางของวงกลมก่อนครับ
\begin{array}{lcl}x^{2}+y^{2}-4x+6y-12&=&0\\(x^{2}-4x)+(y^{2}+6y)&=&12\\(x^{2}-2(2)x+2^{2})+(y^{2}+2(3)y+3^{2})&=&12+2^{2}+3^{2}\\(x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=&5^{2}\end{array}
ดังนั้นจะได้ว่าวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,-3) และรัศมียาว 5 หน่วย ถ้าลองว่ารูปคร่าวก็เป็นดังนี้ครับ
ถ้าเราดูจากรูปเราจะเห็นรัศมีวงกลมซึ่งจะเห็นจุดสองจุดอยู่บนเส้นรัศมีนี้ดังนั้นเราสามารถหาความชันของเส้นรัศมีนี้ได้ เมื่อเรารู้ความชันของรัศมีเราก็สามารถหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมได้ เหตุผลเพราะว่าเส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีวงกลมที่จุดสัมผัส เมื่อมันตั้งฉากกันแสดงว่าเอาความชันของเส้นทั้งสองมาคูณกันจะเท่ากับ -1 ครับ ดังนั้นเราจะหาความชันของเส้นรัศมีก่อนจะได้
\(m=\frac{-3-0}{2-6}=\frac{3}{4}\)
ดังนั้นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมเท่ากับ \(-\frac{4}{3}\) โจทย์ให้หาเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์ที่จะขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมต้องมีความชันเท่ากันอย่าลืมนะเส้นตรงขนานกันความชันจะเท่ากัน
พิจารณาเวกเตอร์ ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\)
ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0) และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}\)
พิจารณาเวกเตอร์ ข. \(3\vec{i}-4\vec{j}\)
ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0) และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,-4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{-4-0}{3-0}=-\frac{4}{3}\) จะเห็นว่าเวกเตอร์นี้มีความชันเท่ากับเส้นสัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์นี้ขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมครับ
3. กำหนดให้จุด \(A,B\) และ \(C(3,1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงเดียวกัน ถ้า \(\vec{AB}=\frac{3}{5}\vec{AC}\) และ \(\vec{BC}=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\) แล้ว จงหาพิกัดของจุด \(A\)
วิธีทำ กำหนดพิกัด \(B\) คือ \((x,y)\) และกำหนดพิกัดของ \(A\) คือ \((m,n)\) จากโจทย์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{BC}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3-x\\1-y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\so\\3-x=2\quad then\quad x=1\\1-y=-4\quad then\quad y=-3\end{array}
ดังนั้น พิกัดของจุด \(B\) คือ \((1,5)\) ต่อไปหาพิกัดของ จุด \(A\)
จาก
\begin{array}{lcl}\vec{AB}&=&\frac{3}{5}\vec{AC}\\\begin{bmatrix}1-m\\-3-n\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}3-m\\1-n\end{bmatrix}\\so\\1-m=\frac{3}{5}(3-m)\cdots\quad (1)\\5-n=\frac{3}{5}(1-n)\cdots\quad (2)\end{array}
ต่อไปเรามาแก้สมการ \((1)\) และ \((2)\) เพื่อ หาค่าของ \(m\) และ \(n\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}1-m&=&\frac{3}{5}(3-m)\\5-5m&=&3(3-m)\\5-5m&=&9-3m\\-5m+3m&=&9-5\\-2m&=&4\\m&=&-2\end{array}
ต่อไปหา \(n\)
\begin{array}{lcl}5-n&=&\frac{3}{5}(1-n)\\25-5n&=&3(1-n)\\25-5n&=&3-3n\\-5n+3n&=&-25+3\\-2n&=&-22\\n&=&11\end{array}
นั่นคือพิกัดของจุด \(A\) คือ \((-2,11)\quad\underline{AnS}\)