-
การจัดหมู่(Combination)
ตอนนี้เรามีความรู้การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นแล้ว ต่อไปเราก็จะไปเรียนรู้วิธีการจัดหมู่บ้าง การจัดหมู่นั้นแตกต่างกับการเรียงสับเปลี่ยนคือ
ถ้าผมมีสิ่งของที่ต่างกัน 2 สิ่งคือ A กับ B
นำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2 สิ่ง ก็จะได้ 2 วิธีคือ AB และ BA
แต่ถ้านำมาจัดหมู่ ก็จะได้เพียง 1 วิธี คือ AB (การจัดหมู่จะมองว่า AB และ BA เป็นสิ่งเดียวกันครับ)
นี่คือข้อแตกต่างระหว่าง Permutation กับ Combination
เรามาดูสูตรการหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดหมู่สิ่งของที่ต่างกันทั้งหมด n สิ่งโดยเลือกมาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง
จำนวนวิธีการจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยเลือกมาจัดคราวละ r สิ่ง เท่ากับ
\(C_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดจุด 10 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง ถ้าต้องการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด 10 จุดนี้จะมีส่วนของเส้นตรงที่่เชื่อมจุดเหล่านี้มากที่สุดกี่เส้น
วิธีทำ ข้อนี้ใช้การจัดหมู่ เพราะว่า ถ้ามีจุด A และ B อยู่บนวงกลม เราลากเส้นเชื่อม AB หรือ BA มันก็คือเส้นเชื่อมอันเดียวกันอย่าหลงไปใช้การเรียงสับเปลี่ยนเด็ดขาด เขาถามว่ามีทั้งหมดกี่เส้น มันจะเกิดเส้นเชื่อมได้ต้องเลือกจุดสองจุดในวงกลมมาแล้วลากเส้นเชื่อมกัน ดังข้อนี้ คือ หา \(C_{10,2}\) มีสิ่งของคือจุดต่างกัน 10 จุดเลือกมาคราวละก็คือเลือกจุดมาคราวละ 2 จุดเพื่อสร้างเส้นเชื่อม จะได้จำนวนกี่เส้นเชื่อมมาคำนวณกันครับ
\(C_{10,2}=\frac{10!}{(10-2)!2!}=45 \) เส้น
ตัวอย่างที่ 2 ในการเลือกกรรมการ 3 คน จากสมาชิกสโมสร 20 คน ซึ่งมีสมชายเป็นสมาชิกสโมสรแห่งนี้ จะมีวิธีคัดเลือกได้กี่วิธี โดยที่
1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ
2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้
วิธีทำ 1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ ก่อนทำโจทย์ผมขอแนะนำว่าถ้าไปเจอโจทย์ที่บอกว่าเลือก กรรมการ เลือกคนมาเป็นกรรมการหรือมาทำหน้าที่อะไรสักอย่าง ให้สงสัยได้เลยว่าต้องใช้การจัดหมู่แน่นอน
ข้อนี้เขาบอกว่าสมชายต้องรับเลือกเป็นกรรมการ ก็คือพูดง่ายๆตอนนี้สมชายเป็นกรรมการไปแล้ว ดังนั้นจำนวนวิธีในคัดเลือกในข้อนี้คือ \(C_{19,2}\) สมชายเป็นกรรมการแล้วก็เหลือแค่ให้เลือก 19 คน และเลือกกรรมการได้เพียง 2 คนเพราะกรรมการอีกหนึ่งคนคือสมชาย
\(C_{19,2}=\frac{19!}{(19-2)!2!}=171\) วิธี
2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้
ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีในการคิด
กรณีที่ 1 สามีเป็นกรรมการ แสดงว่าภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการ
สามีได้เป็นกรรมการแล้ว 1 คนต้องเลือกอีก 2 คนมาเป็นกรรมการให้ครบ 3 คนในสองคนที่เลือกมาต้องไม่เลือกภรรยา
จะได้จำนวนวิธี \(C_{18,2}=\frac{18!}{(18-2)!2!}=153\) วิธี ที่ต้องเหลือ 18 เพราะต้องลบออก 2 คนคือลบสามีออกเพราะสามีเป็นกรรมการแล้ว แลฟะลบภรรยาออกด้วยเพราะสามีเป็นกรรมการภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการตามเงื่อนไขโจทย์
กรณีที่ 2 ภรรยาเป็นกรรมการ แสดงว่าสามีไม่เป็นกรรมการ ก็จะได้คำตอบเหมือนกับกรณีที่ 1 คือ 153 วิธีจริงไหม
กรณีที่ 3 ทั้งสามีและภรรยาไม่เป็นกรรมการจำนวนวิธีคือ \(C_{18,3}=\frac{18!}{(18-3)!3!}=816 \) วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ \(153+153+816=1112\) วิธี
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมบรรจุภายในวงกลมโดยที่จุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม
ดูภาพประกอบตัวอย่างนะครับ ลองคิดเล่นๆถ้ามีจุด 6 จุดบนวงกลม เราจะสามารถ สร้างรูป 7 เหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือไม่ได้แน่นอน สร้างรูปหกเหลี่ยมได้ไหม คำตอบง่ายๆคือได้ แล้่วได้กี่รูป ก็ได้ 1 รูปนะซิ ง่ายๆ สร้างรูปห้าเหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือได้ แล้วได้กี่รูป มีวิธีการคำนวณไหม
การทำโจทย์ข้อนี้คือ ต้องแบ่งกรณีในการคิด คือ
กรณีที่ 1จำนวนวิธีการสร้างรูปหกเหลี่ยม แน่นอนสร้างได้เพียงหนึ่งรูป หรือก็คือต้องเลือกจุดมา 6 จุดเพื่อมาสร้างจากจุดทึ่แตกต่างกันทั้งหมด 6 จุด ก็จะได้ \(C_{6,6}=\frac{6!}{(6-6)!6!}=1\) รูป
กรณีที่ 2 จำนวนวิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยม แสดงว่าต้องเลือกจุดมา 5 จุดจาก 6 จุด
ก็จะได้ \(C_{6,5}=\frac{6!}{(6-5)!5!}=6 \) รูป
กรณีที่ 3 จำนวนวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยม
ก็จะได้ \(C_{6,4}=\frac{6!}{(6-4)!4!}=15 \) รูป
กรณีที่ 4 จำนวนวิธีสร้างรูปสามเหลี่ยม
ก็จะได้ \(C_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!3!}=20 \) รูป
***รูปสองเหลี่ยมไม่มีนะ หนึ่งเหลี่ยมก็ไม่มี 555
ดังจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมได้ทั้งหมด \(1+6+15+20=42\) รูป
ตัอย่างที่ 4 ถ้าต้องการเลือกผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 6 ชนิด คือ ส้ม ชมพู่ มังคุด ละมุด มะม่วง และน้อยหน่า โดยมีข้อแม้ว่า สำหรับมังคุดกับละมุดนั้น ถ้าเลือกจะต้องเลือกทั้งสองชนิด จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราลองวิเคราะห์เล่นๆ จะเห็นว่า ถ้าเลือกซื้อมังคุดจะต้องซื้อละมุดด้วยและต้องเลือกผลไม้อื่นอีก 1 ชนิดเพื่อให้ครบ 3 ชนิด
หรือ เราไม่ชอบละมุด มังคุด เราก็ต้องเลือกซื้อผลไม้อย่างอื่น 3 ชนิดจาก 4 ชนิด(หักมังคุดและละมุดออก)
ฉะนั้นเราแบ่งกรณีในการคิดข้อนี้ออกเป็น 2 กรณี
กรณีที่ 1 กรณีเลือกซื้อมังคุดก็ต้องเลือกซื้อละมุดด้วย และต้องเลือกผลไม้อื่นมาอีก 1 ชนิด ก็จะได้จำนวนวิธีในการเลือก ทั้งหมด 4 วิธี งงไหม ก็คือง่ายๆเลย
มังคุด ละมุด ส้ม
มังคุด ละมุด ชมพู่
มังคุด ละมุด มะม่วง
มังคุด ละมุด น้อยหน่า
หรือใช้วิธีการคำนวณก็ได้ คือ \(C_{4,1}=\frac{4!}{(4-1)!1!}=4\) วิธี จริงไม่ต้องคำนวณหรอกคิดในใจสนุกกว่า
กรณีที่ 2 ไม่เลือกซื้อมังคุด ละมุด
ก็จะเลือกซื้อผลไม้ 3 ชนิดจากผลไม้ที่เหลือ 4 ชนิด (หักละมุดมังคุดออก)
\(C_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4\) วิธี
ดังนั้น จะมีวิธีในเลือกซื้อทั้งหมด 4+4 = 8 วิธี
ตัวอย่างที่ 5 จำนวนวิธีที่จะเลือกผู้แทน 3 คน จากลุ่มคน 9 คน ซึ่งประกอบด้วยชาย 4 คนและหญิง 5 คน เข้าร่วมในคณะกรรมการชุดหนึ่ง โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ เขาบอกว่าจะต้องมีชายอย่างน้อย 1 คนแสดงว่าต้องแบ่งกรณีในการคิดคือ
กรณีที่ 1 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 1 คน ก็คือเลือกชาย 1คนจาก 4 คนและเลือกหญิง 2 คนจาก 5 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ
\(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=40\) วิธี
กรณีที่ 2 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 2 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ
\(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=30\) วิธี
กรณีที่ 3 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 3 คนก็จะได้จำนวนวิธีคือ
\(C_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4 \) วิธี
วิธีเลือกผู้แทนโดยมีชายอย่างน้อย 1 คน มี 40+30+4=74 วิธี
ตัวอย่างที่ 6 มีนักเรียนชั้น ม.4 จำนวน 4 คน นักเรียนชัน ม.5 จำนวน 5 คน และนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 6 คนต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมา 5 คน ซึ่งต้องมีนักเรียนทั้งสามชั้น จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับกี่วิธี
วิธีทำ การทำข้อนี้ จะเห็นว่าต้องเลือกนักเรียนมาให้ครบทั้งสามชั้น คือต้องมีทั้ง ม.4 ม.5 และ ม.6 และต้องรวมกันแล้วให้ครบ 5 คน ดังนั้นต้องแยกคิดออกเป็นกรณีนะครับ
กรณีที่ 1 คือ 1,1,3 ความหมายคือเลือกนักเรียนม.4 จำนวน 1 คน ม.5 จำนวน 1 คนและม.6 จำนวน 3 คน นะครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีเลือกเท่ากับ
\(C_{4,1}\times C_{5,1}\times C_{6,3}=4\times 5\times 20=400\)
กรณีที่ 2 คือ 1,3,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ
\(C_{4,1}\times C_{5,3}\times C_{6,1}=4\times 10 \times 6=240\)
กรณีที่ 3 คือ 3,1,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ
\(C_{4,3}\times C_{5,1}\times C_{6,1}= 4\times 5\times 6=120\)
กรณีที่ 4 คือ 1,2,2 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ
\(C_{4,1}\times C_{5,2}\times C_{6,2}=4\times 10 \times 15=600\)
กรณีที่ 5 คือ 2,1,2 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ
\(C_{4,2}\times C_{5,1}\times C_{6,2}=6\times 5\times 15=450\)
กรณีที่ 6 คือ 2,2,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ
\(C_{4,2}\times C_{5,2}\times C_{6,1}=6\times 10 \times 6=360\)
เอาทุกกรณีมารวมกันก็จะเป็นคำตอบนะครับ จะได้คำตอบคือ 400+240+120+600+450+360=2170 วิธี
ตัวอย่างที่ 7 มีนักเรียนชั้น ม.4 ,ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกตัวแทนนักเรียนเหล่านี้ออกมา 6 คนโดยให้ได้นักเรียนครบทุกชั้นปี จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อนี้ จะแบ่งทำเป็นกรณีเหมือนตัวอย่างที่ 7 ก็ได้ แต่มีข้อสังเกตคือจำนวนคนของแต่ละชั้นปีเท่ากันคือมีจำนวน 4 คน ดังนั้นแต่ละกรณีที่เราคำนวณหาจำนวนวิธีมาเนียะมันได้คำตอบเท่ากันจริงไหม ดังนั้นเราก็คำนวณแค่กรณีเดียวก็พอ แล้วเอาไปคูณ 3 สมมิตถ้ามี 3 กรณี หรือเอาไปคูณ 4 สมมติถ้ามี 4 กรณีเข้าใจไหม ทำต่อนะ
โจทย์บอกว่าต้องการเลือกคนออกมา 6 คนและต้องได้นักเรียนครบทุกชั้น ฉะนั้น อาจจะเลือก ดังนี้
1,1,4 (ความหมายคือเลือก ม.4 มา 1 คน ม.5 มา 1 คนและ ม.6 มา 4 คน)
หรือ 1,4,1,
หรือ 4,1,1
ทั้ง 3 กรณีนี้มีจำนวนวิธีเท่ากันนะครับเพราะจำนวนนักเรียนแต่ละชั้นปีเท่ากัน ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ
\(3\times C_{4,1}\times C_{4,1}\times C_{4,4}=48\) วิธี
หรือ อาจจะเลือก ดังนีั
1,2,3 หรือ 1,3,2 หรือ 3,2,1 หรือ 3,1,2 หรือ 2,3,1 หรือ 2,1,3 คิดคำนวนแค่กรณีเดียวแล้ว คูณ 6 นะครับ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ
\(6\times C_{4,1}\times C_{4,2}\times C_{4,3}=576\) วิธี
หรือ อาจจะเลือก ดังนี้
2,2,2 ถ้าเลือกแบบนี้ได้แบบเดียวไม่ต้องเอาไปคูณอะไรทั้งสิ้น ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคือ
\(C_{4,2}\times C_{4,2}\times C_{4,2}=216\) วิธี
อย่าลืมเอาทั้ง 3 กรณีมาบวกกันครับ 48+576+216=840 วิธี
เข้าใจไหมเอ่ย ยากแต่ต้องค่อยๆอ่านนะครับ
ตัวอย่างที่ 8นักเรียนชั้น ม.4 , ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมาเป็นตัวแทน 5 คน
ถ้า a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน
b แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี
จงหา a-b
วิธีทำ มาดูอันแรกก่อนคือ a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน
เราจะหาคำตอบของอันแรกนี้โดยวิธีหาคำตอบแบบตรงกันข้ามครับ ก็คือ
เอาจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียนชั้น ม.6 เลย
จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงี่อนไขคือ \(C_{12,5}=\frac{12!}{7!5!}=792\) วิธี
จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียน ม.6 คือ \(C_{8,5}=\frac{8!}{5!3!}=56\) วิธี
ดังนั้น a=792-56=736 วิธี
มาดูวิธีหาคำตอบอันที่สอง คือ b แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี
กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ 1,1,3 หรือ 1,3,1 หรือ 3,1,1 อย่าลืมนะทุกชั้นปีมีนักเรียนเท่ากัน หาแบบเดียวแล้วคูณ 3 ก็จะได้คำตอบ
\(3\times C_{4,1}\times C_{4,1}\times C_{4,3}=192\) วิธี
กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ 1,2,2 หรือ 2,1,2 หรือ 2,2,1 หาอันเดียวคูณ 3
\(3\times C_{4,1}\times C_{4,2}\times C_{4,2}\times C_{4,2}=432\) วิธี
เอาทั้งสองกรณีมาบวกกันครับ
b=192+432=624 วิธี
ดังนั้น a-b=736-624=112
ตัวอย่างที่ 9 จากรูป วงกลมวงหนึ่งมีจุดบนเส้นรอบวง 12 จุด ในจำนวนนี้มีจุด A และ B รวมอยู่ด้วย ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดและมี A หรือ B เป็นจุดยอดด้วย แล้ว จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการเท่ากับกี่รูป
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องเซตมาช่วยจะได้ง่าย ลองมองภาพเป็นเซตนะ
ให้ n(A) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A เป็นจุดยอดจุดหนึ่ง ดังนั้น
\(n(A)=C_{11,2}=\frac{11}{9!2!}=55\) รูป
ให้ n(B) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด B เป็นจุดยอดจัดหนิ่ง ดังนั้น
\(n(B)=C_{11,2}=55\) รูป
ให้ \(n(A)\cap B)\) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A และ B เป็นจุดยอดสองจุด ดังนั้น
\(n(A\cap B)=C_{10,1}=10\) รูป
ดังนั้น จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มี A หรือ B เป็นจุดยอดคือ \(n(A \cup B)\) นั่นเอง
\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=55+55-10=100\) รูป
ตัวอย่างที่10 ในการสอบครั้งหนึ่งนักเรียนต้องทำข้อสอบ 8 ข้อ จากข้อสอบทั้งหมด 10 ข้อและนักเรียนต้องทำข้อสอบอย่างน้อย 4 ข้อจาก 5 ข้อแรก นักเรียนจะเลือกทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้เราลองวิเคราะห์คร่าวๆก่อนครับคือนักเรียนต้องทำข้อสอบเพียงแค่ 8 ข้อเท่านั้นคือจากทั้งหมด 10 เลือกทำแค่ 8 ข้อเท่านั้นครับ แต่ 5 ข้อแรกเลือกทำอย่างน้อย 4 ข้อ ตรงนี้แหละต้องเน้นเลยครับก็คือต้องแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี
กรณีที่ 1 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำเพียง 4 แสดว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 4 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ
\(C_{5,4}\times C_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!4!}\times \frac{5!}{(5-4)!4!}=5\times 5=25\)
กรณีที่ 2 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำทั้ง 5 ข้อเลยแสดงว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 3 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ
\(C_{5,5}\times C_{5,3}=\frac{5!}{(5-5)!5!}\times \frac{5!}{(5-3)!3!}=1\times 10=10\)
ดังนั้นจำนวนวิธีในการทำข้อสอบของนักเรียนคือ \(25+10=35\) วิธี
ตัวอย่างที่ 11 ถ้าเครื่องดื่มที่จัดไว้เป็นน้ำอัดลม 4 ชนิด น้ำผลไม้ 3 ชนิด จำนวนวิธีที่จะเลือกน้ำอัดลม 2 ชนิดและผลไม้ 2 ชนิดแล้วนำไปเสิร์ฟคนที่นั่งรอบโต๊ะกลม 4 คน คนละ 1 แก้วอย่างไม่เจาะจงเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ผมจะแยกทำเป็นสอง step
step 1 ก็คือหาจำนวนวิธีในการเลือกน้ำอัดลมมา 2 ชนิดและเลือกน้ำผลไม้มา 2 ชนิด จากน้ำอัดลมทั้งหมด 4 ชนิดและน้ำผลไม้ทั้งหมด 3 ชนิด ก็จะได้ทำวิธีทั้งหมดคือ
\(C_{4,2}\times C_{3,2}=6\times 3=18\) วิธี
step 2 ใน 18 วิธีในจัดเลือกเครื่องดื่มนี้นำไปเสิร์ฟคนนั่งรอบโต๊ะกลม 4 คนจะทำได้ทั้งหมดกี่วิธีอันนี้ต้องไปการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมประกอบด้วยนะครับ
ใน 18 วิธีนี้จะเห็นว่า
การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 1 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ 3! วิธี
การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 2 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ 3! วิธี
การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 3 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ 3! วิธี
... .... ..... .... .....
การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 18 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ 3! วิธี
ดังนั้นจะมีจำนวนวิธีในการเสิร์ฟทั้งหมด \(18(3!)\)=108 วิธี
ตัวอย่างที่ 12 ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผู้เขัาร่วมประชุมเป็นครู 7 คน เป็นนักวิชาการ 10 คนและเป็นผู้บริหาร 3 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนจำนวน 4 คน โดยจะต้องมีผู้บริหารอย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ดูโจทย์ดีๆนะครับจะเห็นว่าตัวแทนที่เลือกมาทั้ง 4 คนนี้จะต้องมีผู้บริหารอย่างน้อยครึ่งหนึ่งครับ ฉะนั้นเราจะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณีคือ
กรณีที่ 1 กรณีที่มีผู้บริหารอยู่ในตัวแทนจำนวน 2 คนฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดคือ
\(C_{3,2}\times C_{17,2}=3\times 136=408\) วิธี
กรณีที่ 2 กรณีที่มีผู้บริหารอยู่ในตัวแทนจำนวน 3 คน ฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดคือ
\(C_{3,3}\times C_{17,1}=1\times 17=17\) วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกตัวแทน 4 คนและในคณะ 4 คนนั้นมีผู้บริหารอยู่อย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีทั้งหมด
\(408+17=425\) วิธี
*** อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ เฉลยแบบฝึกหัดเรื่องการจัดหมู่
-
เฉลยแบบฝึกหัดเรื่องการจัดหมู่
สำหรับเรื่องการจัดหมู่(Combination) เป็นเรื่องที่จะได้เรียนตอน ม.ปลาย บางโรงเรียนก็เรียนตอน ม.5 บางโรงเรียนก็เรียนตอน ม.6 อันนี้ก็แล้วแต่การจัดหลักสูตรแต่ละโรงเรียน สำหรับเรื่องนี้เป็นเรื่องที่เกี่ยงข้องกับเรื่องของความน่าจะเป็น ดังนั้นถ้าได้เรื่องนี้ก็จะได้เรื่องของความน่าจะเป็นด้วย การจัดหมู่ แปลความหมายเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ การนำสิ่งของที่เรามีอยู่มาจัดกลุ่ม ว่าจะได้ทั้งหมดกี่กลุ่ม เช่น เรามีคนสามคนคือ A ,B,C นำมาจัดกลุ่มกลุ่มละ 2 คน ก็จะได้กลุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังนี้คิอ AB ,AC, BC ซึ่งแตกต่างกับเรื่องของการ การเรียงสับเปลี่ยน ถ้าเราเข้าใจคอนเซปต์ตรงนี้แล้วก็จะทำให้เราเรียนเข้าใจง่ายขึ้น
สูตรในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดหมู่ที่เรารู้จักกันคือ
\[C_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]
หรืออาจจะใช้แทนด้วยสัญลักษณ์นี้ก็ได้
\[\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]
ตัวอย่างที่เราเห็นกันและสามารถนำการจัดหมู่ไปช่วยในการคิดคำนวณได้ เช่น ในการแข่งขันฟุตบอลพรีเมียร์ลีกของอังกฤษ ซึ่งมีทั้งหมด 20 ทีม ถ้าจัดการแข่งขันแบบทุกทีมเจอกันหมด ก็จะมีการแข่งขันทั้งหมด 190 นัด ซึ่งคำนวนได้จาก
\begin{array}{lcl}\binom{20}{2}&=&\frac{20!}{(20-2)!2!}\\&=&\frac{20!}{18!2!}\\&=&\frac{20\times 19}{2}\\&=&190\end{array}
แต่ในการแข่งขันมีการสลับกัน เป็นทีมเหย้า ทีมเยือนด้วย ดังนั้นใน 1 ฤดูกาลจะมีการแข่งขันทั้งหมด \(190\times 2=380\) นัดนั่นเองคับ
นี่คือตัวอย่างการนำความรู้การจัดหมู่ ไปใช้ในการคำนวณคับ
มาดูเฉลยเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจัดหมู่กันเลยคับผม
1. มีหนังสือต่างกันอยู่ 10 เล่ม นาย ก ต้องการยืมไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก สามารถเลือกยืมได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ การยืมหนังสือ 3 เล่ม จาก 10 เล่ม คือการเลือกสิ่งของ 3 สิ่ง จากสิ่งของ 10 สิ่ง ดังนั้น จำนวนวิธีการเลือกที่จะทำได้คือ \(C_{10,3}\)
\begin{array}{lcl}C_{10,3}&=&\frac{10!}{(10-3)!3!}\\&=&\frac{10!}{7!3!}\\&=&120\end{array}
นาย ก สามารถเลือกยืมได้ทั้งหมด 120 วิธี
2. จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้จากการลากเส้นเชื่อมจุดยอด 6 จุดของรูป 6 เหลี่ยม
วิธีทำ รูปหกเหลี่ยมก็จะมีจุด เชื่อมต่อกันทั้งหมด 6 จุด เลือกมา 3 จุดเพื่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม ก็จะได้สามเหลี่ยมที่แตกต่างกันทั้งหมด \(\binom{6}{3}\) รูป ก็คือ
\begin{array}{lcl}\binom{6}{3}&=&\frac{6!}{(6-3)!3!}\\&=&\frac{6!}{3!3!}\\&=&20\end{array}
ดังนั้น สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมจากจุด 6 จุดในรูปหกเหลี่ยมได้ทั้งหมด 20 รูป
3. จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป 20 เหลี่ยมด้านเท่า
วิธีทำ ให้จินตนาการถึงรูป 20 เหลี่ยม ซึ่งจะมีจุดเชื่อมต่อกัน 20 จุด เราต้องการสร้างเส้นทแยงมุมจากรูป 20 เหลี่ยมนี้ แสดงว่าเราต้องเลือกจุด 2 จุดมาแล้วลากเส้นแทยงมาต่อกันใช่ไหมคับ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกจุดมา 2 จุดก็คือจำนวนเส้นทแยงมุมที่เกิดขึ้นนั่นเองคับ แต่ยังต้องลบออกด้วย 20 เส้นนะคับ เพราะ 20 เส้นที่ว่านี้มันไม่ใช่เส้นทแยงมุม แต่เป็นเส้นที่เชื่อต่อกันเพื่อให้ได้รูป 20 เหลี่ยมนั่นเอง เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\binom{20}{2}&=&\frac{20!}{(20-2)!2!}\\&=&\frac{20!}{18!2!}\\&=&190\end{array}
ต้องเอา 190 ไปลบออกด้วย 20 เพราะว่า 20 เส้นที่ว่านี้ไม่ใช่เส้นทแยงมุม แต่คือเส้นเชื่อมต่อกันที่ทำให้เกิดรูป 20 เหลี่ยม
นั่นคือเส้นทแยงมุม จะมีได้ทั้งหมด 190-20=170 เส้น นั่นเองคับ
4. จะเลือกนักเรียน 4 คน จากนักเรียน 17 คน ไปตอบแข่งขันปัญหาคณิตศาสตร์ได้กี่วิธี
วิธีทำ มีนักเรียนทั้งหมด 17 คน เลือกนักเรียน 4 คน ไปตอบปัญหาแข่งขันจะเลือกได้ทั้งหมด \(\binom{17}{4}\) วิธี
จะได้
\begin{array}{lcl}\binom{17}{4}&=&\frac{17!}{13!4!}\\&=&\frac{17\times 16\times 15\times 14\times 13!}{13!\times 4\times 3\times 2}\\&=&17\times 4\times 5\times 7\\&=& 2380\end{array}
จะได้จำนวนวิธีเลือกทั้งหมด 2380 วิธี
5.มีหนังสืออยู่ 12 เล่ม ต้องการแบ่งให้นาย ก และ นาย ข โดยที่คนหนึ่งจะได้ 9 เล่ม อีกคนหนึ่งจะได้ 3 เล่ม จะมีวิธีแบ่งหนังสือดังกล่าวได้กี่วิธี
วิธีทำ การคิดข้อนี้ ต้องแบ่งกรณีคิดเป็น 2 กรณีคือ
1. ถ้านาย ก ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
2. ถ้านาย ข ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
มาดูกรณี 1 ถ้านาย ก ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
ขั้นตอนที่ 1 จำนวนวิธีแบ่งหนังสือให้ นาย ก จำนวน 9 เล่มจากหนังสือทั้งหมด 12 คือ
\begin{array}{lcl}\binom{12}{9}&=&\frac{12!}{3!9!}\\&=&\frac{12\times 11\times 10\times 9!}{9!\times 3\times 2}\\&=&220\end{array}
ขั้นตอนที่ 2 จำนวนวิธีแบ่งหนังสือให้ นาย ข จากหนังสือที่เหลือ 3 เล่ม คือ
\begin{array}{lcl}\binom{3}{3}&=&1\end{array}
ดังนั้นในกรณี 1 ทำได้ทั้งหมด \(220\times 1=220\) วิธี
กรณี 2 ถ้านาย ข ได้ 9 เล่ม นาย ก จะได้ 3 เล่ม คำตอบจะได้เท่ากับ กรณี 1 ถูกไหม ลองคิดดู
นั่นก็คือ รวมวิธีแบ่งหนังสือให้นาย ก และ นาย ข เท่ากับ 220+220=440 วิธี
6.กำหนดให้พยัญชนะ 8 ตัวต่างๆกัน สระ 4 ตัวต่างๆกัน ถ้าเราต้องการสร้างคำ ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัว จะทำได้กี่วิธี โดยมีเงื่อนไขว่า ในแต่ละคำต้องประกอบด้วยพยํญชนะ 3 ตัว และสระ 2 ตัว โดยไม่จำเป็นต้องมีความหมาย
วิธีทำ แน่นอนวิธีการคือเราต้องไปเลือกพยัญชนะมาก่อน 3 ตัวจากทั้งหมด 8 ตัว
และก็ไปเลือก สระมาอีก 2 ตัวจากทั้งหมด 4 ตัว
ขั้นตอน 1 จำนวนวิธีในการเลือกพยัญชนะ 3 ตัว จากพยัญชนะทั้งหมด 8 ตัวคือ
\begin{array}{lcl}\binom{8}{3}&=&\frac{8!}{5!3!}\\&=&\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{5!\times 3\times 2}\\&=&56\end{array}
ขั้นตอน 2 จำนวนวิธีในการเลือกสระ 2 ตัว จากสระทั้งหมด 4 ตัวคือ
\begin{array}{lcl}\binom{4}{2}&=&\frac{4!}{2!2!}\\&=&\frac{4\times 3\times 2!}{2!\times 2}\\&=&6\end{array}
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างคำที่ประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัวสร้างได้ทั้งหมด \(56\times 6=336\) วิธี
ตอนนี้สิ่งที่เราได้คือ ตัวอักษร 5 ตัวซึ่งประกอบไปด้วยพยัญชนะ 3 ตัวและสระ 2 ตัว จำนวน 336 ก้อน เราก็เอาเจ้า 336 ก้อนนี้มาเรียงสับเปลี่ยนกันเพื่อให้เกิดคำต่างๆ ซึ่ง 1 ก้อน เช่น ABCIE ก็จะเรียงสับเปลี่ยนให้ได้คำต่างๆโดยไม่สนใจความหมายจำนวน \(5!\) วิธี ดังนั้นจะได้คำต่างๆเท่ากับ \(5!\times 336=120\times 336=40320 \) คำ นั่นเองคับ
7. สมาคมแห่งหนึ่งมีสมาชิกอยู่ 25 คน ซึ่งใน 25 คนนั้นมีอยู่ 4 คน เป็นหมอ จะมีกี่วิธีที่จะเลือกคณะกรรมการจำนวน 3 คน ซึ่งต้องมีหมออยู่ด้วยอย่างน้อย 1 คน
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีในการคิดครับ แล้วเอาทุกกรณีมาบอกกันก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด
กรณี 1 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 1 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 1 คน คือ \(\binom{4}{1}=4\)
จำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการคนอื่นที่ไม่ใช่หมอคือ \(\binom{21}{2}=210\)
\begin{array}{lcl}\binom{21}{2}&=&\frac{21!}{19!2!}\\&=&\frac{21\times 20\times 19!}{19!\times 2}\\&=&21\times 10\\&=&210\end{array}
นั่นคือ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนมีหมออยู่ด้วย 1 คนทำได้ทั้งหมด \(210\times 4=840\) วิธี
***อธิบายเพิ่มเติม มีสมาชิกทั้งหมด 25 คน ตัดหมอทิ้ง 4 คน ก็จะเหลือสมาชิก 21 คน และใน 21 คนนี้จะต้องเลือกมาอีก 2 คนเพื่อมาเป็นคณะกรรมการและรวมกรรมการอีก 1 คนที่เป็นหมอ ก็จะมีคณะกรรมการครบ 3 คน พอดี นี้คือกรณีที่ 1
กรณี 2 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 2 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 2 คน คือ \(\binom{4}{2}=6\)
จำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการคนอื่นที่ไม่ใช่หมอคือ \(\binom{21}{1}=21\)
นั่นคือ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนมีหมออยู่ด้วย 2 คนทำได้ทั้งหมด \(21\times 6= 126\) วิธี
กรณี 3 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 3 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 3 คน คือ \(\binom{4}{3}=4\)
กรณีไม่ต้องเลือกคณะกรรมการอื่นที่ไม่ใชหมอแล้วเพราะว่าครบ 3 คนแล้ว
คำตอบ ก็คือต้องเอาทุกกรณีมาบวกกันครับ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการจำนวน 3 คน ซึ่งต้องมีหมออยู่ด้วยอย่างน้อย 1 คน
เท่ากับ \(840+126+4=970\) วิธี
ข้อนี้สามารถคิดแบบกลับได้ครับก็คือ เอาจำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการที่ไม่เลือกหมอเป็นกรรมการเลยก็คือ \(\binom{25}{3} -\binom{21}{3}=970\) ได้คำตอบเหมือนกัน แล้วแต่ความสะดวกของแต่ละคน
8. จำนวนวิธีที่จะเลือกผู้แทน 3 คน จากกลุ่มคน 9 คน ซึ่งประกอบด้วยชาย 4 คน และหญิง 5 คน เข้าร่วมในคณะกรรมการชุดหนึ่ง โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้เราจะทำแบบวิธีตรงข้ามก็คือ
เอาจำนวนวิธีในการเลือกผู้แทนทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกผู้แทน 3 คนโดย 3 คนนั้นไม่เป็นผู้ชายเลย
นั่นก็คือ
จำนวนวิธีเลือกผู้แทนทั้งหมดคือ \(\binom{9}{3}=84\) วิธี
จำนวนวิธีเลือกผู้แทน 3 คน โดย 3 คนนั้นไม่เป็นผู้ชายเลยคือ \(\binom{5}{3}=10\) วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการเลือกผู้แทน 3 คน โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับ \(84-10=74\) วิธี
9.คนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน ต้องการเลือกมา 6 คน เพื่อนำมานั่งรอบโต๊ะกลม จะจัดได้กี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำงาน 2 ขั้นตอน คือ 1.หาจำนวนวิธีในการเลือกคนมา 6 คนก่อน
2. นำแต่ละวิธีที่หาได้ในขั้นตอนที่ 1 มาจัดรอบโต๊ะกลม
เริ่มทำเลย
ขั้นตอนที่ 1 จำนวนวิธีเลือกคนมา 6 คนจากทั้งหมด 10 คนคือ \(\binom{10}{6}=210\)
ขั้นตอนที่ 2 จะเห็นว่าในการเลือกคน 6 คนจากคนทั้งหมด 10 คนทำได้ 210 วิธี แต่ละวิธีนำมาจัดนั่งรอบโต๊ะกลม ได้ \(5!=120\) วิธี
ดังนั้น เลือกคนมา 6 คนจากทั้งหมด 10 คน มานั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ทั้งหมด \(210\times 120=25200\) วิธี
*** ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
10.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลที่แตกต่างกัน 11 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก ถ้าต้องการหยิบลูกบอลพร้อมกัน 3 ลูกจากกล่องใบนี้ จงหาจำนวนวิธีการหยิบโดยที่
1) หยิบได้ลูกบอลครบทุกสี
2)ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก
3) ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาว
\[\cdots\]
1) หยิบได้ลูกบอลครบทุกสี
วิธีทำ ข้อนี้แบ่งการทำงานออกเป็น 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอน 1 จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลสีแดง 1 ลูกจาก 5 ลูกคือ \(\binom{5}{1}=5\)
ขั้นตอน 2 จำนวนวิธีในการหยิบลูกกบอลสีขาว 1 ลูกจาก 3 ลูกคือ \(\binom{3}{1}=3\)
ขั้นตอน 3 จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลสีน้ำเงิน 1 ลูกจาก 3 ลูกคือ \(\binom{3}{1}=3\)
ดังนั้นจำนวนวิธีหยิบลูกบอลแล้วได้ลูกบอลครบทุกสีเท่ากับ \(5\times 3\times 3=45\) วิธี
2)ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก
วิธีทำ ข้อนี้เราจะทำวิธีแบบตรงกันข้ามนะคับ ก็คือ
เอาจำนวนวิธีในการหยิบทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีที่หยิบลูกบอลแล้วไม่ได้สีแดงเลย
ก็จะได้ว่า
จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลทั้งหมดคือ \(\binom{11}{3}=165\)
จำนวนวิธีที่หยิบลูกบอลแล้วไม่ได้สีแดงเลย นั่นก็คือหยิบได้สีขาวหรือสีน้ำเงิน ตัดสีแดงออกไปเลย คือ \(\binom{6}{3}=20\)
ดั้งจำนวนวิธีหยิบแล้วได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก คือ \(165-20=145\) วิธี
3) ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาว
วิธีทำ ข้อนี้ผมแบ่งกรณีในการทำนะคับ แต่อย่าลืมว่าไม่มีลูกบอลสีขาวเลย ฉะนั้นตัดลูกบอลสีขาวออกไปเลย
กรณี 1 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 1 ลูก และสีอื่นที่ไม่ใช่สีขาวอีก 2 ลูก คือ \(\binom{3}{1}\times \binom{5}{2}=3\times 10=30\)
กรณี 2 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก และสีอื่นที่ไม่ใช่สีขาวอีก 1 ลูก คือ \(\binom{3}{2}\times \binom{5}{1}=3\times 5=15\)
กรณี 3 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูก สีอื่นไม่ต้องหยิบเพราะครบ 3 ลูกแล้ว คือ \(\binom{3}{3}=1\)
ดังนั้นจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลให้ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาวเลยคือ \(30+15+1=46\) วิธี