หัวข้อนี้เป็นความรู้เกี่ยวกับกับการประยุกต์เกี่ยวกับอัตราส่วนนะครับ แต่ก่อนที่จะทำโจทย์กันเราลองมาทำความเข้าใจเกี่ยวกับความหมายต่างๆของอัตราส่วนก่อนนะครับ
อัตราส่วน \(a:b\) หรือ \(\frac{a}{b}\) เป็นการเปรียบเทียบปริมาณ \(a\) และ ปริมาณ \(b\) ซึ่งอาจมีหน่วยเดียวกันหรือต่างหน่วยกัน ตัวอย่างเช่น
- อัตรส่วนของพื้นที่ผิวโลกส่วนที่เป็นน้ำต่อพื้นที่ผิวโลกส่วนที่เป็นพื้นดิน เป็น \(7:3\)
- อัตราส่วนของจำนวนห้องเรียนเป็นห้องต่อจำนวนนักเรียนเป็นคน เป็น \(35:1400\)
ในชีวิตประจำวันเรามักคุ้นเคยและเข้าใจความหมายของอัตราส่วนในรูปที่บอกเป็น อัตรา เช่น
- อัตราค่าโดยสารรถประจำทาง 8 บาทต่อคน
- ราคามะนาว 5 ผล 8 บาท
- อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 2.50 บาทต่อปี
จากข้อความข้างต้นสามารถเขียนเป็นอัตราวส่วนได้ดังนี้
- อัตราส่วนของค่าโดยสารรถประจำทางเป็นบาทต่อจำนวนผู้โดยสารเป็นคน เป็น \(8:1\) หรือ \(\frac{8}{1}\)
- อัตราส่วนของจำนวนมะนาวเป็นผลต่อราคามะนาวเป็นบาท เป็น \(5:8\) หรือ \(\frac{5}{8}\)
- อัตราส่วนของเงินต้นเป็นบาทต่อดอกเบี้ยเป็นบาทต่อเวลาเป็นปี เป็น \(100:2.50:1\)
มาดูต่อกันครับ
ประโยคที่แสดงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน เรียกว่า สัดส่วน เช่น
\(\frac{13}{15}=\frac{26}{30}\)
การหาจำนวนใดจำนวนหนึ่งในสัดส่วน อาจใช้ การคูณไขว้ ครับซึ่งเราจะได้ทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการประยุกต์อัตราส่วนครับ
แบบฝึกหัดการประยุกต์เกี่ยวกับอัตราส่วน
1. จงหาจำนวนที่แทนด้วย \(a\) ในสัดส่วนต่อไปนี้
1) \(\frac{a}{3}=\frac{42}{7}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{a}{3}&=&\frac{42}{7}\\a&=&\frac{42}{7}\times 3\\a&=&18\end{array}
2) \(\frac{18}{5}=\frac{a}{20}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{18}{5}&=&\frac{a}{20}\\a&=&\frac{18}{5}\times 20\\a&=&72\end{array}
3) \(\frac{7.2}{9}=\frac{a}{16.8}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\frac{7.2}{9}&=&\frac{a}{16.8}\\a&=&\frac{7.2}{9}\times 16.8\\a&=&0.8\times 16.8\\a&=&13.44\end{array}
2. บุญศรีทอผ้าฝ้ายยาว 3 เมตร ใช้เวลาทอโดยประมาณ 4 วัน ถ้าบุญศรีรับงานทอผ้าฝ้ายแบบเดียวกันยาว 50 เมตร จะต้องใช้เวลาทอประมาณกี่วัน
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นเวลาที่ใช้ทอผ้าฝ้ายยาว 50 เมตร
เนื่องจาก อัตราส่วนของเวลาที่ใช้ทอผ้าต่อความยาวของผ้าเป็น \(4:3\)
เขียนเป็นสัดส่วนได้เป็น
\begin{array}{lcl}\frac{x}{50}&=&\frac{4}{3}\\x&=&\frac{4\times 50}{3}\\x&\approx & 66.67\end{array}
ดังนั้นต้องใช้เวลาทอผ้าประมาณ 67 วัน
3. นงนุชหุงข้าวผสมกับลูกเดือยโดยใช้ข้าวสาร 2 กระป๋อง และลูกเดือย \(\frac{3}{4}\) กระป่องสำหรับรับประทาน 5 คน ถ้านงนุชต้องการหุงข้าวผสมลูกเดือยสำหรับรับประทาน 30 คน จะต้องใช้ข้าวสารและลูกเดือยอย่างละกี่ประป๋อง
วิธีทำ อัตราส่วนของปริมาณข้าวสารต่อปริมาณลูกเดือยต่อจำนวนคนรับประทาน คือ
\[2:\frac{3}{4}:5\]
ดังต้องการหุงข้าวผสมลูกเดือยสำหรับคนรับประทาน 30 คน เราก็จะเห็นว่า \(5\times 6=30\) ดังนั้น นำ \(6\) มาคูณเข้ากับอัตราส่วนด้านบนเลยจะได้
\[2\times 6:\frac{3}{4}\times 6:5\times 6\]
\[12:\frac{9}{2}:30\]
ดังนั้นจากตรงนี้เราจะได้ว่า
ถ้าจะให้คนรับประทาน 30 คน ต้องใช้ข้าวสาร 12 กระป๋อง และ ลูกเดือย \(\frac{9}{2}=4.5\) กระป๋อง นั่นเองครับ
4. โรงงานแห่งหนึ่งมีอัตราส่วนของจำนวนพนักงานชายต่อจำนวนพนักงานหญิงเป็น 5:2 ถ้ามีพนักงานทั้งหมด 336 คน จะเป็นพนักงานชายและพนักงานหญิงอย่างละกี่คน
วิธีทำ
จำนวนพนักงานชายต่อจำนวนพนักงานหญิง เป็นอัตราส่วนได้คือ
\[5:2\]
ซึ่งเราจะได้ว่ามีจำนวนจำนวนหนึ่งผมให้เป็น \(x\) แล้วกันที่ทำให้
\(5x+2x=336\)
ต่อไปเราก็หาจำนวนนั้นออกมาครับก็คือแก้สมการนั่นเอง จะได้
\begin{array}{lcl}5x+2x&=&336\\7x&=&336\\x&=&\frac{336}{7}\\x&=&48\end{array}
ดังนั้นจึงได้ว่าโรงงานนี้มีพนักงานชายจำนวน \(5x=5(48)=240\) คน
มีพนักงานหญิงจำนวน \(2x=2(48)=96\) คน
5. สุดาซื้อมะม่วงมาขายสองครั้ง ครั้งละ 100 กิโลกรัม ครั้งแรกสั่งซื้อโดยตรงจากสวนในราคา 4 กิโลกรัม 70 บาท ครั้งที่สองซื้อผ่านพ่อค้าคนกลางในราคา 5 กิโลกรัม 95 บาท จงหาว่าสุดาซื้อจากพ่อค้าคนกลางแพงกว่าซื้อโดยตรงจากสวนกี่บาท
วิธีทำ ข้อนี้คิดง่ายๆเลย อย่าไปอิงอะไรมาก
ซื้อจากสวน 4 กิโลกรัมราคา 70 บาท ดังนั้น สุดาซื้อมะม่วงมาในราคากิโลกรัมละ \(\frac{70}{4}=17.5\) บาท
ซื้อจากพ่อค้าคนกลาง 5 กิโลกรัม 95 บาท ดังนั้นสุดาซื้อมะม่วงมาในราคากิโลกรัมละ \(\frac{95}{5}=19\) บาท
นั่นคือสุดาซื้อจากพ่อค้าคนกลางแพงกว่าซื้อจากสวนโดยแพงกว่ากิโลละ \(19-17.5=1.5\) บาท
ซื้อจากสวนคิดเป็นเงิน \(100\times 17.5=1750\) บาท
ซื้อจากพ่อค้าคนกลางคิดเป็นเงิน \(100\times 19=1900\) บาท
ดังนั้น ซื้อจากพ่อค้าคนกลางแพงกว่าซื้อจากสวน \(1900-1750=150\) บาท
6. โรงเรียนก้าวหน้าศึกษาและโรงเรียนคณิตวิทยา รับสมัครนักเรียนเข้าเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 พร้อมกันโดยวิธีัจับฉลาก พบว่าอัตราส่วนของจำนวนนักเรียนที่จับฉลากเข้าเรียนได้ต่อจำนวนนักเรียนที่จับฉลากไม่ได้ของโรงเรียนก้าวหน้าศึกษา เป็น \(5:12\) และ ของโรงเรียนคณิตวิทยา เป็น \(3:8\) ถ้าจำนวนนักเรียนที่จับฉลากได้ของทั้งสองโรงเรียนเป็น 210 คนเท่ากัน จงหาว่าแต่ละโรงเรียนมีนักเรียนมาสมัครกี่คน
วิธีทำ
จากโจทย์เราจะได้ว่า
\(5x=210\rightarrow x=\frac{210}{5}=42\)
และ
\(3x=210\rightarrow x=\frac{210}{3}=70\)
สรุปก็คือว่า
โรงเรียนก้าวหน้าศึกษา
มีนักเรียนจับสลากได้ \(5x=5(42)=210\) คน
มีนักเรียนจับสลากไม่ได้ \(12x=12(42)=504\) คน
นั่นคือโรงเรียนก้าวหน้าศึกษามีนักเรียนมาสมัครทั้งหมด \(210+504=714\) คน
โรงเรียนคณิตวิทยา
มีนักเรียนจับฉลากได้ \(3x=3(70)=210\) คน
มีนักเรียนจับฉลากไม่ได้ \(8x=8(70)=560\) คน
นั่นคือโรงเรียนคณิตวิทยามีนักเรียนมาสมัครทั้งหมด \(210+560=770\) คน
สนับสนุนเว็บไซต์