เราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นไปหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด แต่ก่อนที่พิจารณาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน เราควรรู้จัก นิยามของค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ก่อนครับ มาดูนิยามกันก่อน อ่านนิยามให้เข้าใจนะครับ
ปล.ศึกษาเพิ่มเติมได้จากหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ของ ม.6 ของ สสวท. นะครับเขาเขียนไว้ละเอียดแล้ว
บทนิยาม
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=c\) ถ้ามีช่วง \((a,b)\subset D_{f}\) ซึ่ง \(c\in (a,b)\) และ \(f(c)\geq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \((a,b)\) เรียก \(f(c)\) ว่า ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ของฟังก์ชัน \(f\) และจุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ \((c,f(c))\)
ฟังก์ชัน \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=c\) ถ้ามีช่วง \((a,b)\subset D_{f}\) ซึ่ง \(c\in(a,b)\) และ \(f(c)\leq f(x)\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \((a,b)\) เรียก \(f(c)\) ว่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ของฟังก์ชัน \(f\) และจุดต่ำสุดคือ \((c,f(c))\)
ทฤษฏีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง \((a,b)\) ซึ่ง \(c\in(a,b)\) และ \(f^{\prime}(c)\) หาค่าได้
ถ้า \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ \(f\) จะได้ว่า \(f^{\prime}(c)=0\)
บทนิยาม ให้\(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \((a,b)\) ค่าของ \(c\in (a,b)\) ซึ่งทำให้ \(f^{\prime}(c)=0\) จะเรียกว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน \(f\)
ทฤษฎีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \((a,b)\) ซึ่ง \(c\in (a,b)\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)\) เปลี่ยนจากจำนวนบวกเป็นจำนวนลบ เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้นรอบๆ \(c\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ถ้า \(f^{\prime}(x)\) เปลี่ยนจากจำนวนลบเป็นจำนวนบวก เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้นรอบๆ \(c\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \(A\) ใดๆ และ \(c\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\) ซึ่ง \(f^{\prime}(c)=0\)
1. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)>0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพันธ์
2. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)<0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ทั้งหมดทั้งมวลที่ผมเขียนมาจากด้านบน สรุปเป็นรูปภาพดังนี้
ต่อไปเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์กันครับ
1. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) \(f(x)=x^{2}-8x+7\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{2}-8x+7\)
จะได้ \(f^{\prime}(x)=2x-8=2(x-4)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
ดังนั้น \(x=4\)
ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(4\)
\(f^{\prime\prime}(x)=2\)
\(f^{\prime\prime}(x)=2\) ซึ่ง \(2>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ \(f(4)=-9\)
ดังรูป
หรือ สรุปก็คิอ ถ้าต้องการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ก็ใช้ทฤษฏีด้านล่างนี้ได้เลยครับ
ทฤษฏีบท กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \(A\) ใดๆ และ \(c\) เป็นค่าวิกฤตของ \(f\) ซึ่ง \(f^{\prime}(c)=0\)
1. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)>0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าต่ำสุดสัมพันธ์
2. ถ้า \(f^{\prime\prime}(c)<0\) แล้ว \(f(c)\) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
2) \(f(x)=x^{3}-3x+6\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x+6\)
\(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\)
จะได้ \(x=-1\) หรือ \(x=1\)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(-1\) และ \(1\)
\(f^{\prime\prime}(x)=6x\)
\(f^{\prime\prime}(-1)=-6\) ซึ่ง \(-6<0\)
\(f^{\prime\prime}(1)=6\) ซึ่ง \(6>0\)
ดังนั้นจากทฤษฏี \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(-1)=8\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(1)=4\) ดังรูปด้านล่าง
3) \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+4\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+4\)
จะได้ \(f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x-24=3(x-4)(x+2)\)
ถ้า \(f^{\prime}(x)=0\)
จะได้ \(3(x-4)(x+2)=0\)
ดังนั้น \(x=-2\) หรือ \(x=4\)
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) คือ \(-2\) และ \(4\)
\(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\)
\(f^{\prime\prime}(-2)=-18\) ซึ่ง \(-18<0\)
\(f^{\prime\prime}(4)=18\) ซึ่ง \(18>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(-2)=32\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(f(4)=-76\) ดังรูป
วันนี้เรามาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมนะคับ หลังจากที่ห่างหายกันไปนาน เพราะงานยุ่งเหลือเกินช่วงโควิดนี้ เอาละมาเริ่มทำกันเลยดีกว่าครับ
1. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x-20\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x-20\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+6x-24\\&=&3(x^{2}+2x-8)\\&=&3(x+4)(x-2)\end{array}
ดังนั้นเราจะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=-4\) หรือ \(x=2\)
จะได้ว่าค่าวิกฤตของฟังก์ชัน \(f\) มี 2 ค่า คือ \(-4\) และ \(2\)
ต่อไปหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน \(f\) จะได้
\(f^{\prime\prime}(x)=6x+6=6(x+1)\)
เนื่องจาก \(f^{\prime\prime}(-4)=-18\) ซึ่ง \(-18<0\)
และ \(f^{\prime\prime}(2)=18\) ซึ่ง \(18>0\)
ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=4\) และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ \(f(-4)=60\)
และ \(f\) มีค่าตำสุดสัมพัทธ์ที่ \(x=2\) และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ \(f(2)=-48\)
2. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+42\) บนช่วงปิด \([-5,5]\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+42\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&6x^{2}-6x-36\\&=&6(x^{2}-x-6)\\&=&6(x-3)(x+2)\end{array}
ดังนั้น \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=3\) หรือ \(x=-2\)
จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเปิด \((-5,)\) คือ \(3\) และ \(-2\)
ต่อไปคำนวณหา \(f(-5),f(-2),f(3)\) และ \(f(5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(-5)&=&-103\\f(-2)&=&86\\f(3)&=&-39\\f(5)&=&37\end{array}
สรุปได้ว่า
\(f\) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=-2\) และค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ \(f(-2)=86\)
และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=-5\) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ \(f(-5)=-103\)
3. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=x^{3}-3x+2\) บนช่วงปิด \([0,2]\)
วิธีทำ จาก \(f(x)=x^{3}-3x+2\)
จะได้
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-3\\&=&3(x^{2}-1)\\&=&3(x-1)(x+1)\end{array}
ดังนั้น \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=1\) หรือ \(x=-1\)
แต่ \(-1\notin (0,2)\) จะได้ว่าค่าวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเปิด \((0,2)\) คือ \(1\)
ต่อไปคำนวณหา \(f(0),f(1)\) และ \(f(2)\) จะได้
\(f(0)=2\)
\(f(1)=0\) น้อยสุด
\(f(2)=4\) มากสุด
สรุปได้ว่า
\(f\) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=2\) และค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ \(f(2)=4\) และ \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ \(x=1\) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ \(f(1)=0\)
3. จากฟังก์ชันที่กำหนดให้ จงระบุที่ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเพิ่มและช่วงที่ฟังก์ชันลด
\(1)\quad f(x)=3-2x-x^{2}\)
วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราก็ดิฟ 1 ครั้งเพื่อหาจุดวิกฤตก่อนครับผม
จะได้
\(f^{\prime}(x)=-2x-2=-2(x+1)\)
เราจะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=0\) เมื่อ \(x=-1\)
จึงได้ว่าจุดวิกฤตคือจุดที่ \((x=-1\) หรือถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านจุดตรงนี้เป็นจุดที่ กราฟมันมีการวกกลับนั่นเองครับ
ซึ่งเราจะเห็นว่า ทางขวาของ
สนับสนุนเว็บไซต์