เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรมจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่\(\sum\) (อ่านว่าซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดงการบวก กล่าวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจำกัด \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}\) ด้วยสัญลักษณ์ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}\) (อานว่า ซัมเมชัน \(a_{i}\) เมื่อ \(i\) เท่ากับ \(1\) ถึง \(n\)
และเขียนแทนอนุกรมอนันต์ \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+\cdots\) ด้วยสัญลักษณ์ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}\) (อ่านว่า ซัมเมชัน \(a_{i}\) เมื่อ \(i\) เท่ากับ \(1\) ถึง \(\infty\) จะเรียกตัวแปร \(i\) ว่า ดัชนี (Index) ซึ่งอาจจะใช้ตัวแปรอื่นแทนก็ได้
มาดูตัวอย่างการใชัสัญลัญลักษณ์ ซัมเมชันกัน ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจกันนะคับ ไม่ได้ยากเลย แค่ขี้เกียจเขียนยาวๆ ก็เลยใช้สัญลักษณ์พวกนี้มาช่วย ไม่มีอะไรซับซ้อนเลย
\(1)\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{6}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}\)
\(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2k-1)=(2(1)-1)+(2(2)-1)+(2(3)-1)\)
\(3)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots +\frac{1}{2^{n}}+\cdots\)
\(4)\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}+\cdots\)
ต่อไปเราไปดูทฤษฏีบท ที่เกี่ยวข้องกับเจ้าซัมเมชันกันครับ
ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า
\(1.\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{n}c=nc\)
\(2.\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{n}ca_{i}=c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}\)
\(3.\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_{i}\)
\(4.\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_{i}\)
อีกทฤษฏีบท ที่เกี่ยวข้องกับซัมเมชันและออกสอบบ่อยเหลือเกินก็คือ
ให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ จะได้ว่า
\(1.\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\) อันนี้จริงๆแล้วมันคือสูตรการหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนั่นเอง
\(2.\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(3.\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i\right)^{2}\)
เอาละต่อไปเราไปดูแบบฝึกหัดกันครับ
1. จงเขียนแทนสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปการบวก
\(1)\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{4}2i\)
วิธีทำ ไม่ยากเลยง่าย เขียนให้อยู่ในรูปผลบวก แต่ไม่ต้องบวกให้เขานะ จะได้แบบนี้เลย
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{4}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)\)
\(2)\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{52}(i+2)\)
วิธีทำ
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{52}(i+2)=(1+2)+(2+2)+(3+2)+(4+2)+\cdots+(52+2)\)
\(3)\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(10-2k)\)
วิธีทำ
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(10-2k)=(10-2(1))+(10-2(2))+(10-2(3))+(10-2(4))\)
2.จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
\(1)\quad \displaystyle\sum_{j=1}^{5}3j=3\displaystyle\sum_{j=1}^{5}j=3(1+2+3+4+5)=45\)
\(2)\quad\displaystyle\sum_{k=1}^{50}8=8\times 50=400\)
\(3)\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{4}i^{2}(i-3)\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรหรือทฤษฏีบทด้านบทนะที่เป็นของ \(i^{3}\) กับ \(i^{2}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}i^{2}(i-3)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{4}(i^{3}-3i^{2})\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{4}i^{3}-3\displaystyle\sum_{i=1}^{4}i^{2}\\&=&\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\\&=&\left(\frac{4(4+1)}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{4(4+1)(2(4)+1)}{6}\right)\\&=&(10)^{2}-90\\&=&100-90\\&=&10\end{array}
\(4)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{15}(k+5)(k-5)\)
วิธีทำ ข้อนี้จับสองก้อนคูณกันให้เรียบร้อยก่อนแล้วค่อยใช้สูตร
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{15}(k+5)(k-5)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{15}k^{2}-25\\&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{15}k^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{15}25\\&=&\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)-(15\times 25)\\&=&\frac{15(15+1)(2(15)+1)}{6}-375\\&=&\frac{15\times 16\times 31}{6}-375\\&=&1240-375\\&=&865\end{array}
\(5)\quad\displaystyle\sum_{i=10}^{20}(2i+1)\)
วิธีทำ ข้อนี้สังเกตเห็นว่า \(i\) ไม่ได้เริ่มต้นที่ 1 นะคับ แต่มันเริ่มที่ 10 จนถึง 20 ดังนั้นเพื่อความง่ายผมจะให้ i มันเริ่มต้นที่ 1 จนถึง 20 และก็ลบออกด้วย i ที่เริ่มจาก 1 จนถึง 9 งงไหม ถ้างงก็ลองไปดูกันครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=10}^{20}(2i+1)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{20}(2i+1)-\displaystyle\sum_{i=1}^{9}(2i+1)\\&=&(\displaystyle\sum_{i=1}^{20}2i+\displaystyle\sum_{i=1}^{20}1)-(\displaystyle\sum_{i=1}^{9}2i-\displaystyle\sum_{i=1}^{9}1)\\&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{20}i+(20)(1)-(2\displaystyle\sum_{i=1}^{9}i+9(1))\\&=&(2\frac{n(n+1)}{2}+20)-(2\frac{n(n+1)}{2}+9)\\&=&(20\times 21)+20-(9\times 10+9)\\&=&440-99\\&=&341\end{array}
\(6)\quad\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(i-2)^{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ให้เราทำการยกกำลังสามอันนี้ก่อน \((i-2)^{3}\) และค่อยกระจายซัมเมชันเข้าไป ดังนี้นะ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(i-2)^{3}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{2}(i^{3}-6i^{2}+12i-8)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{3}-6\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{2}+12\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i-\displaystyle\sum_{i=1}^{10}8\\&=&(\frac{n(n+1)}{2})^{2}-6(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})+12(\frac{n(n+1)}{2})-(10)(8)\\&=&(\frac{10\times 11}{2})^{2}-6(\frac{10\times 11\times 21}{6})+12(\frac{10\times 11}{2})-80\\&=&3025-2310+660-80\\&=&1295\end{array}
3.จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้โดยใช้สัญลักษณ์ \(\sum\)
\(1)\quad 1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots +n(n+2)+\cdots\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรยากแต่อนุกรมนี้เป็นอนุกรมอนันต์นะ ฉะนั้นต้องบวกจนถึง \(\infty\) นะครับผม และสังเกตตรงนี้ \(n(n+2)\) นั่นคือเขาใบ้คำตอบให้เราแล้วครับ ทำต่อเลยจะได้ว่า
\( 1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots +n(n+2)+\cdots=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}i(i+2)\)
\(2)\quad \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{n}\)
วิธีทำ ข้อนี้ ถ้าเราสังเกตนะ เราจะเห็นว่าค่าของ i นี้เริ่มต้นที่ 4 ดังนั้นคำตอบของเราคือ
\( \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{n}=\displaystyle\sum_{i=4}^{n}\frac{1}{n}\)
\(3)\quad 2+4+6+\cdots +2n\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ได้ยากเลยครับ ถ้าเราสังเกตดีๆนะจะเห็นว่า
\(2=2(1)\)
\(4=2(2)\)
\(6=2(3)\)
ดังนั้น มันต้องมีแบบนี้ แน่ๆคือ \(2i\) คำตอบข้อนี้คือ
\(3)2+4+6+\cdots +2n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}2i\)
4. จงแสดงว่า
\(1)\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{n}6i=3n(n+1)\)
วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่เราต้องรู้ก่อนที่จะแสดงก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\) อันนี้นะต้องทุกคนต้องรู้ไว้ก่อนเลยครับผม เอาละมาเริ่มแสดงกันเลยครับผม จะแสดงจากฝั่งซ้ายแล้วให้ได้ฝั่งขวานะคับผม
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}6i&=&6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i\\&=&6\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\\&=&3(n(n+1))\\&=&3n(n+1)\end{array}
ได้แล้วครับตามนั่นแหละ ค่อยฝึกฝนนะคับอย่าลอกอย่างเดียว
\(2)\quad \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-i)=\frac{n^{3}-n}{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องรู้ว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
เริ่มทำเลยนะคับผม
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-i)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)\times 3}{2\times 3}\\&=&\frac{2n^{3}+3n^{2}+n-3n^{2}-3n}{6}\\&=&\frac{2n^{3}-2n}{6}\\&=&\frac{n^{3}-n}{3}\end{array}
ตามนี้แหละคับผม ส่วนใหญ่บวกลบคูณหาร เลขยกกำลังถูกก็ได้คำตอบแล้วครับผม ลองๆคิดตามดูนะคับ
5.จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
1) \(1\cdot 2 + 2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots ...+n(n+1)+\cdots \)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องมองให้ออกว่า
\(1\cdot 2=1\cdot (1+1)\)
\(2\cdot 3=2\cdot (2+1)\)
\(3\cdot 4=3\cdot (3+1)\)
นั่นก็คือถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ \(i\) ก็คือ \(i\cdot(i+1)\)
ต่อไปก็ไปหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}1\cdot 2 + 2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots ...+10(10+1)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i(i+1)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{2}+i\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\\&=&\frac{10(10+1)(2(10)+1)}{6}+\frac{10(10+1)}{2}\\&=&385+55\\&=&440\end{array}
2) \(1\cdot 4\cdot 7+2\cdot 5\cdot +3\cdot 6\cdot 9+4\cdot 7\cdot 10+\cdots +n(n+3)(n+6)+\cdots\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือทำเหมือนข้อข้างนั่นแหละคับ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}1\cdot 4\cdot 7+2\cdot 5\cdot +3\cdot 6\cdot 9+4\cdot 7\cdot 10+\cdots +10(10+3)(10+6)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i(i+3)(i+6)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i(i^{2}+9i+18)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(i^{3}+9i^{2}+18i)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{3}+9\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i^{2}+18\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\\&=&\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+9\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+18\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\\&=&\left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^{2}+9(\frac{10(10+1)(2(10)+1)}{6})+18(\frac{10(10+1)}{2})\\&=&3025+3465+990\\&=&7480\end{array}
6. จงหาผลบวก \(n\) พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
1) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}\)
วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควรต้องหารูปทั่วไปของผลบวก \(n\) พจน์แรกให้เจอ ซึ่งในที่นี้เรากำหนดให้ผลบวก \(n\) พจน์แรกคือ \(S_{n}\) ดังนั้น
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}\)
และมาพิจารณาตรงนี้กันหน่อย ตรงนี้สำคัญมากๆเลยครับ เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}\frac{1}{i(i+1)}&=&\frac{(i+1)-i}{i(i+1)}\\&=&\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\end{array}
ดังเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)\\&=&\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\&=&1-\frac{1}{n+1}\\&=&\frac{n}{n+1}\end{array}
นั่นก็คือ เราได้ว่า \(S_{n}=\frac{n}{n+1}\) นั่นเองครับ และโจทย์ให้หาผลบวก 20 พจน์แรกนั่นก็คือให้เราหา \(S_{20}\) นั่นเองครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{n+1}\\S_{20}&=&\frac{20}{20+1}\\S_{20}&=&\frac{20}{21}\end{array}
2)\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\)
วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควรเพราะเราต้องจัดรูปเพื่อหา \(S_{n}\) ให้ได้
ให้ \(S_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\)
พิจารณา ตัวนี้นะ อ่านให้เข้าใจ มันจะยากหน่อย
\begin{array}{lcl}\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}&=&\frac{1}{2}\left(\frac{(2i+1)-(2i-1)}{(2i-1)(2i+1)}\right)\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(2i-1)}-\frac{1}{(2i+1)}\right)\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1}\right)\\&=&\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1}\right)\\&=&\frac{1}{2}\left((1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots +(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1})+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\right)\\&=&\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\&=&\frac{n}{2n+1}\end{array}
จะได้ว่า \(S_{n}=\frac{n}{2n+1}\) ดังนั้น \(S_{20}=\frac{20}{2(20)+1}=\frac{20}{41}\)
ผลบวก \(n\) พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ \(S_{n}=\frac{n}{2n+1}\) และผลบวก 20 พจน์แรกคือ \(S_{20}=\frac{20}{41}\)
เราลองมาทำแบบฝึกหัดเรื่องนี้ที่เป็นข้อสอบ Pat 1 สักข้อกันครับ
กำหนดให้ \(\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}}{1(2)+2(3)+3(4)+\cdots +(n-1)n}=\frac{231}{228}\) จงหาค่าของ \(n\) [Pat1 ธ.ค.54/42]
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรพวกนี้คับ
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
เอาละเริ่มทำกันเลย
พิจารณา
\begin{array}{lcl}1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}
พิจารณา
\begin{array}{lcl}1(2)+2(3)+3(4)+\cdots +(n-1)n&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i-1)i\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-i)\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}\\&=&\frac{n(n+1)(n-1)}{3}\end{array}
ต่อไปนำสิ่งที่เราพิจารณาไปแทนค่าในโจทย์เพื่อการสมการหาค่า \(n\) กันครับผมจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}}{1(2)+2(3)+3(4)+\cdots +(n-1)n}&=&\frac{231}{228}\\\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)(n-1)}{3}}&=&\frac{231}{228}\\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\times \frac{3}{n(n+1)(n-1)}&=&\frac{231}{228}\\\frac{2n+1}{2(n-1)}&=&\frac{231}{228}\\\frac{2n+1}{n-1}&=&\frac{231}{114}\\114(2n+1)&=&231(n-1)\\228n-114&=&231n-231\\231n-228n&=&231-114\\3n&=&117\\n&=&39\end{array}
ดังนั้น \(n=39\)
เพิ่มเติมโจทย์ให้เรื่อยๆนะคับไปเจอโจทย์ข้อไหนสวยมาก็จะทำให้ดูคับ
1. กำหนดให้ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=210\) จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{9k^{4}-6k^{2}+1}-k^{2}\right)\)
วิธีทำข้อนี้เริ่มจากาการ หาค่าของ \(n\) ก่อนคือแก้สมการที่โจทย์ให้มาคับ เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k&=&210\\\frac{n(n+1)}{2}&=&210\\n(n+1)&=&2\times 210\\n^{2}+n&=&420\\n^{2}+n-420&=&0\\(n+21)(n-20)&=&0\\so\\n&=&20\end{array}
อย่าลืมนะว่า \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกนะคับ เก็บค่าของ \(n\) เอาไว้ก่อน ต่อไปไปดูค่าตัวนี้ต่อ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{9k^{4}-6k^{2}+1}-k^{2}\right)&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{(3k^{2}-1)(3k^{2}-1)}-k^{2}\right)\\&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-1-k^{2})\\&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k^{2}-1)\\&=&2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1\\&=&2(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})-n\\we \quad konw\quad n=20\quad so\\&=&\frac{20\times 21\times 41}{3}-20\\&=&5720\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์