วันนี้ตรงกับวันที่ 3  มิถุนายน 2564 ตรงกับวันหยุดแต่ผมไม่เคยหยุดทำงาน เพราะในหัวสมองมันแล่นตลอดหรือภาษาพระเขาเรียกว่าฟุ้งซ่านนั่นเอง ความฟุ้งซ่านนั้นเป็นเรื่องธรรมดา ธรรมชาติ การหยุดความฟุ้งซ่านนั่นหยุดยากต้องอาศัยฌานระดับสูง แต่ในระดับปถุชนคนธรรมดาอย่างเรา ก็แค่ให้รู้ตัวอยู่ว่ากำลังฟุ้งซ่านอยู่นะ มีสติรู้ตัวเองอยู่เสมอว่ากำลังฟุ้งซ๋านแค่นี้ก็พอแล้ว  เอาละเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาค่าลิมิตของลำดับอนันต์กันเถอะ  แต่รู้สึกว่าเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลำดับนี้ผมได้เขียนไว้มากหลายแล้ว อย่างไรก็ศึกษาเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างนะคับผม

เอาละไปเริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยครับผม ไปแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียนของ สสวท. นะคับอย่างไรก็อ่านเพิ่มเติมด้วยครับผม

\(1. \quad a_{n}=\frac{8}{3n}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\lim\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

hint: อย่าลืมนะว่า \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\)

ดังนั้นข้อนี้ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

\(2.\quad a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราใช้ สูตรลิมิต ข้อที่ว่าถ้า \(|r|>1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}\) หาค่าไม่ได้  เริ่มทำเลย

และอย่าลืม \(\frac{8^{n}}{7^{n}}=\left(\frac{8}{7}\right)^{n}\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n}&=&\color\red{NO\quad LIMIT}\end{array}

ข้อนี้ไม่ลิมิตนะคับเพราะจะเห็นว่า \(r=\frac{8}{7}\) และ \(|r|=|\frac{8}{7}|>1\) ดังนั้นลำดับนี้ไม่มีลิมิต หรือว่าเป็นลำดับลู่ออก(divergent sequence) นั่นเองครับ

\(3. \quad a_{n}=\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}\)

วิธีทำ ข้อนี้เดี่ยวเราลองจัดรูปของลำดับดูครับแล้วจะง่าย

\begin{array}{lcl}\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}&=&\frac{2^{2(1-n)}}{2^{8-2n}}\\&=&2^{(2-2n)-(8-2n)}\\&=&2^{-6}\\&=&\frac{1}{2^{6}}\\&=&\frac{1}{64}\end{array}

จะเห็นว่าเมื่อเราจัดลำดับเสร็จแล้วปรากฏว่าลำดับนี้คือ \(a_{n}=\frac{1}{64}\) นั่นคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{64}=\frac{1}{64}\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

\(4.\quad a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ จริงๆแล้วถ้าเราจำพวก สูตรลิมิต ได้มองแป๊ปเดียวได้แล้ว เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

hint: ข้อนี้ใช้ สูตรลิมิต ที่ว่า \(|r|<1\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0\) ซึ่งจะเห็นว่า \(r=\frac{1}{2}\)และ \(|\frac{1}{2}|<1\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}^{n}=0\) 

ดังนั้นลำดับข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

\(5.\quad a_{n}=4+\frac{1}{n}\)

วิธีทำ ข้อนี้มองแล้วตอบได้เลยลู่เข้าแน่นอน เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4+\frac{1}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

\(6. \quad a_{n}\frac{6n-4}{6n}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราจัดรูปลำดับก่อนแล้วค่อยหาลิมิตครับ \(\frac{6n-4}{6n}=\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n}=1-\frac{4}{6n}\)

เห็นไหมจัดรูปแล้วหาลิมิตจะง่ายขึ้น เริ่มหาลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{4}{6n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{6n}\\&=&1-0\\&=&1\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และลู่เข้าสู่ 1

\(7.\quad a_{n}=\frac{3n+5}{6}\)

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าลำดับมันเป็นเศษส่วนพหุนาม และดีกรีของตัวส่วนคือ 0  ดีกรีของตัวเศษคือ 1 ถ้าดีกรีของตัวส่วนน้อยกว่าดีกรีของตัวเศษ ลำดับนั้นจะลู่ออกคับ ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่ออก (divergent sequence) หรือเราดูง่ายๆเลย สามมันคูณอยู่กับ n และบวกเพิ่มอีก 5 เมื่อ n เข้าสู่อินฟินิตี้หรือมากขึ้นเรื่อยๆ และมันหารด้วยค่าคงที่คือ 6 ฉะนั้นมันก็ย่อมมากขึ้นเรื่อยๆตาม n ที่มันมากขึ้นเรื่อยๆ มันไม่ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งเลย ก็คือไม่มีลิมิต หรือว่าหาค่าลิมิตไม่ได้นั่นเองครับผม

\(8.\quad a_{n}=\frac{n}{n+1}\) 

วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับแล้วค่อยหาลิมิตคับ  \(\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\)

ต่อไปเริ่มหาลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1 }{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) 

\(9.\quad a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}\)

วิธีทำ ขอนี้เราให้สังเกตนะว่า ดีกรีของตัวส่วนคือ 2 มากกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 1 ลองหาลิมิตดูนะ ก่อนจะหาลิมิตลองจัดรูปก่อน โดยวิธีการจัดรูปคือเอา \(n^{2}\) หารทุกพจน์เลยก็จะได้ดังนี้คับ

\(\frac{4+5n}{n^{2}}=\frac{n^{2}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})}{n^{2}}=\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}\)

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคนน่าจะมองออก แล้วนะว่าลิมิตเท่ากับเท่าไร ถ้ามองไม่ออกก็ตามมาดูเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}&=&\displaystyle 4\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+\displaystyle 5\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

ต่อไปถ้าเราไปเจอลำดับที่อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม แล้วดีกรีของตัวส่วนมากกว่าดีกรีของตัวเศษ แล้วลิมิตของลำดับนั้นจะมีค่าเท่ากับ 0 นะจ๊ะจำไว้เลยจะได้เอาไปใช้

\(10.  \quad a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ลำดับเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษ ถ้าเป็นแบบลำดับแบบนี้จะเป็นลำดับลู่เข้า  วิธีการคือเอาลำดับนี้มาจัดรูปก่อนโดยการเอา \(n\) ไปหารทั้งเศษและส่วนครับก็จะได้แบบนี้

\(\frac{2n-1}{3n+1}=\frac{n(2-\frac{1}{n}}{n(3+\frac{1}{n}}=\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}\)

หลังจากจัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคน

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3+0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

จำไว้เลยนะลิมิตของลำดับที่เป็นเศษส่วนพหุนาม ถ้าเศษส่วนของพหุนามนั้นมีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษลำดับนั้นจะเป็นลำดับลู่เข้าคือหาลิมิตได้และค่าของลิมิตจะไม่ใช่ศูนย์ ก็คือเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลขศูนย์ ดังนั้นถ้าเขาถามว่าข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก เราก็ตอบได้ทันที่ว่าลู่เข้าเพราะดีกรีของตัวส่วนกับตัวเศษเท่ากันครับ

\(11.\quad a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องทำแล้วเพราะลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามดีกรีของตัวส่วนคือ 1 น้อยกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 2  ลำดับนี้จะเป็นลำดับลู่ออก หรือถ้าใครลองจัดลำดับแล้วหาลิมิตของลำดับนี้ดู ค่าของลิมิตที่ออกมาจะมีส่วนเป็น 0 เดี่ยวผมจะลองทำให้ดูคร่าวนะจ๊ะ  ผมจะเอา \(n^{2}\) หารทั้งเศษและส่วนครับจะได้แบบนี้นะ

\(\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}=\frac{n^{2}(3-\frac{5}{n})}{n^{2}(\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}})}=\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\)

จัดรูปเสร็จแล้วลองหาลิมิตดูจะได้ค่าลิมิตออกมาตัวส่วนเป็น 0

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}&=&\frac{3-0}{0-0}\\&=&\frac{3}{0}\end{array}

\(12. \quad a_{n}=\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}\)

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นได้ว่าลำดับของเราเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีของตัวเศษ ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าแน่ เดี่ยวเราจะมาจัดรูปของลำดับใหม่แล้วก็หาลิมิตกันเลยครับผม

\(\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}=\frac{7n^{2}}{n^{2}(5-\frac{3}{n^{2}})}=\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}\)

จัดรูปแล้วเริ่มหาลิมิตกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}&=&\frac{7}{5-0}\\&=&\frac{7}{5}\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

\(13.\quad a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}\)

วิธีทำ ลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวส่วนกับดีกรีของตัวเศษเท่ากัน ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

เมื่อเป็นลำดับลู่เข้าต่อไปเราก็หาลิมิตของลำดับกันเลยครับ เอาลำดับมาจัดรูปก่อนโดยการนำ \(n^{2}\) ไปหารทุกพจน์ครับ จะได้

\(\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}=\frac{n^{2}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}}=4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}\)

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&4-0+0\\&=&4\end{array}

\(14. \quad a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\)

วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับก่อนนะครับสังเกตทั้งตัวส่วนและตัวเศษมีมีดีกรีเท่ากัน ดังนั้นเอา \(\sqrt{n}\) หารทุกพจน์เลยครับจะได้ดังนี้

\(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}=\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตต่อเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้า(convergent sequence)

\(15.\quad a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}\)

วิธีทำ ข้อนี้จำวิธีการทำดีๆนะครับเพราะถ้าการหาลิมิตของลำดับที่ติดรูทจะทำเหมือนกันหมดเลย ก็คือจะทำตัวที่อยู่ข้างในรูทอย่างเช่นข้อนี้ให้เอา \(n^{2}\) หารทุกพจน์ที่อยู่ในรูท เลยนะ ก็จะเห็นภาพที่คลี่คลายและสามารถทำต่อได้เอง ไปดูกัน

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{\sqrt{n^{2}(1-\frac{1}{n^{2}})}}{4n}\\&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

จัดรูปเสร็จแล้วต่อไปหาลิมิตกันต่อ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}&=&\frac{\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4}\\&=&\frac{\sqrt{1-0}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)


2. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าเป็นจริง จงให้เหตุผล ถ้าเป็นเท็จ จงยกต้วอย่างค้าน

1) ถ้า \(a_{n}\) และ \(b_{n}\) เป็นลำดับลู่ออก แล้ว \(a_{n}+b_{n}\) เป็นลำดับลู่ออก

วิธีทำ ข้อนี้เป็นเท็จแน่นอนครับ เพราะว่าจะเห็นว่า 

ถ้าเราให้

\(a_{n}=n\)  และ \(b_{n}=-n\) ซึ่งลำดับทั้งสองนี้ เป็นลำดับลู่ออก แต่ถ้าเราเอาลำดับทั้งสองอันนี้บวกกัน \(a_{n}+b_{n}=0\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}0=0\)

นั่นแสดงว่าลำดับ \(a_{n}+b_{n}\) เป็นลำดับลู่เข้า


3.บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พันล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ำมันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง \(20\%\) ของปีก่อนหน้านี้

1) จงคำนวณงบรายจ่ายของ 4 ปีแรกหลังจากปรับลดงบ

วิธีทำ  ปรับงบรายจ่ายลง 20% นั่นหมายความว่าใช้งบได้เพียง 80% นั่นก็คือ

ปีแรกบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5\times 0.8\) พันล้านบาท

และปีที่สองก็ปรับลดอีก 20%  ก็คือเอางบปีแรกมาปรับลด 20% หรือก็คือใช้งบได้เพียง 80% ดังนั้น

ปีที่สองบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5\times 0.8\times 0.8=2.5(0.8)^{2}\) พันล้านบาท [เอางบรายจ่ายปีแรกมีคูณ 80%หรือก็คือคูณกับ 0.8 นั่นเอง และปีถัดไปก็ทำแบบนี้อีก

ปีที่สามบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5(0.8)^{3}\) พันล้านบาท

ปีที่สี่บริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ \(2.5(0.8)^{4}\) พันล้านบาท

Pin It