Main menu

1. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54/36)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ

จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\) 

จากโจทย์จะได้ 

\begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}

จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)

และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)

นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)

ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย

\begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}

จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)

จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)

นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)


2. กำหนดให้ \(A,B,C\) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม    \(P\) เป็นจุดกึ่งกลางของ \(AC\)    \(Q\) อยู่บน \(AB\) ทำให้ \(AQ:QB=1:2\) ถ้า \(\vec{AB}=6\vec{i}-3\vec{j}\) และ \(\vec{BC}=2\vec{i}+3\vec{j}\) จงหา \(\vec{PQ}\) (Pat 1 ธ.ค. 54/13)

วิธีทำ  ข้อสอบแบบนี้ต้องวาดรูปนะคับแล้วค่อยๆไปไล่ดูว่า \(\vec{PQ}\) เกิดจากเวกเตอร์อะไรบ้างบวกกันคับ เริ่มเลยนะคับ

จากรูปจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\vec{PQ}&=&\vec{PA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}\vec{CA}+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\vec{CB}+\vec{BA})+\vec{AQ}\\&=&\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix})+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-8\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-1\end{bmatrix}\\&=&-2\vec{i}-\vec{j}\quad\underline{Ans}\end{array}

อธิบายเพิ่มเติมจากสมการข้างบนนะคับ

การหาเวกเตอร์  \(\vec{AQ}\)

\begin{array}{lcl}\vec{AQ}&=&\frac{1}{3}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\end{array}

การหาเวกเตอร์ \(\vec{CB}\)

\begin{array}{lcl}\vec{CB}&=&-\vec{BC}\\&=&-(2\vec{i}+3\vec{j})\\&=&-2\vec{i}-3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}\end{array}

 การหาเวกเตอร์ \(\vec{BA}\)

\begin{array}{lcl}\vec{BA}&=&-\vec{AB}\\&=&-(6\vec{i}-3\vec{j})\\&=&-6\vec{i}+3\vec{j}\\&=&\begin{bmatrix}-6\\3\end{bmatrix}\end{array}

 


3. กำหนดให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ถ้า \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\) โดยที่ \(\vec{w}\) มีทิศเดียวกันกับ \(\vec{u}\) และ \(|\vec{w}|=10\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (A-NET 49)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ A-NET นะคับ ไม่ยาก ง่ายๆคับ  โจทย์บอกว่าสองเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกันแสดงว่า เวกเตอร์นี้ต้องขนานกันแบบมีทิศทางเดียวกัน

เนื่องจาก \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\|\vec{u}|&=&\sqrt{25}\\|\vec{u}|&=&5\end{array}

จากที่ \(|\vec{u}|=5\) และ \(|\vec{w}|=10\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(\vec{w}=2\vec{u}\) นั่นเองคับผมจากตรงนี้แหละเราจะเอาไปหาคำตอบกันครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\vec{w}&=&2\vec{u}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&2\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix}\end{array}

นั่นคือ

\(a=6\) และ \(b=8\)

ดังนั้น \(a+b=6+8=14\quad\underline{Ans}\)


4.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี \(D\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) และ \(F\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\)  ถ้า \(\vec{AD}=\frac{1}{4}\vec{AC}\quad , \vec{BF}=\frac{1}{3}\vec{BC}\)  และ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) แล้ว \(\frac{a}{b}\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปออกมานะคับถึงจะทำข้อสอบได้ง่าย  ใครวาดรูปไม่เป็นบอกเลยว่ายากคับ จากรูปเราเราจะได้ว่า

\[\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\]

เราต้องจัด \(\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\) ให้อยู่ในรูปของ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) เพื่อที่จะได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมา ใครที่ยังไม่เข้าใจ ก็ลองอ่านตามมาคับ

\begin{array}{lcl}\vec{DF}&=&\vec{DC}+\vec{CF}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AC}+\frac{2}{3}\vec{CB}\\&=&\frac{3}{4}[\vec{AB}+\vec{BC}]-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{BC}-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\end{array}

ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่า

\[\vec{DF}=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\]

ดังนั้น \(a=\frac{3}{4}\)  และ \(b=\frac{1}{12}\)

นั่นคือ \(\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\times 12=9\quad\underline{Ans}\)


5. กำหนดให้ \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน   \(M\) เป็นจุดบนด้าน \(AD\) ซึ่ง \(\vec{AM}=\frac{1}{5}\vec{AD}\)  และ \(N\) เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม \(AC\)  ซึ่ง \(\vec{AN}=\frac{1}{6}\vec{AC}\) ถ้า \(\vec{MN}=a\vec{AB}+b\vec{AD}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค. 52 /24)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปในคับถึงจะมองเห็นภาพ แล้วก็เริ่มหาว่า เจ้าเวกเตอร์ \(\vec{MN}\) นั้นมันเกิดจากเส้นไหนบวกกันบ้าง ซึ่งจากรูปเราจะเห็นว่า \(\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\)  ซึ่งบางคนอาจจะมองไม่เหมือนผมก็ได้นะ เพราะมันบวกได้หลายทาง เมื่อเราได้แบบนี้แล้วต่อไปเราก็จะแปลงไปแปลงมาเพื่อให้ได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมาคับ เริ่มทำกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\vec{MN}&=&\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{DA}+\vec{BA}+\vec{AN}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}+\vec{AB}-\vec{AB}+\vec{DA}+\frac{1}{6}\vec{AC}\\&=&\frac{4}{5}\vec{AD}-\vec{AD}+\frac{1}{6}(\vec{AD}+\vec{AB})\\&=&-\frac{1}{5}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AD}+\frac{1}{6}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{6}\vec{AB}-\frac{1}{30}\vec{AD}\quad\cdots (1)\end{array}

จาก \((1)\) เราคงเห็นแล้วว่า \(a=\frac{1}{6}\) และ \(b=-\frac{1}{30}\) ดังนั้น

\(a+b=\frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{2}{15}\quad\underline{AnS}\)

จากสมการข้างบนจะอธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งเผื่อบางคนยังไม่รู้หรือว่าลืมๆแล้วก็คือ

\(\vec{BA}=-\vec{AB}\)

\(\vec{DA}=-\vec{AD}\)


6. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ \(|\vec{u}|=1\quad ,|\vec{v}=3\) และ  \(\vec{u}\)  ทำมุม \(60^{\circ}\) กับ \(\vec{v}\) ค่าของ \(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}\) เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค.54/15)

วิธีทำ   ข้อสอบพวกนี้ต้องจำสูตรให้ได้คับ แล้วก็แก้สมการเป็นด้วย สูตรที่ต้องใช้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องผลคูณเชิงสเกลาร์   สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ซึ่งก็คือ

\[|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\]

\[|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}\]

\[\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\]

ใช้สูตรพวกนี้แหละคับผม มาเริ่มทำกันเลย

ขั้นตอนแรกหา \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) ก่อนคับ

\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(1)(3)\cos 60^{\circ}\\&=&(1)(3)(\frac{1}{2})\\&=&\frac{3}{2}\end{array}

ขั้นตอนที่ 2  หา  \(|\vec{u}+\vec{v}|\)

\begin{array}{lcl}|\vec{u}+\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}\\&=&1^{2}+3^{2}+2(\frac{3}{2})\\&=&1+9+3\\&=&13\\so\\|\vec{u}+\vec{v}|&=&\sqrt{13}\end{array}

ขั้นตอนที่ 3  หา \(|2\vec{u}-\vec{v}|\)

\begin{array}{lcl}|2\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|2\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(2\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&2^{2}(1)^{2}+9-4(\frac{3}{2})\\&=&13-6\\&=&7\\so\\|2\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{7}\end{array}

เพราะฉะนั้น

\(\frac{|\vec{u}+\vec{v}|}{|2\vec{u}-\vec{v}|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}\quad\underline{AnS}\)


7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย  ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด  (PAT 1 ก.ค. 52/24)

วิธีทำ  ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\)   ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ

ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ

\begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}






12.  กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\)  ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้  (วิชาสามัญ 55)

  1. -27
  2. -19
  3. 0
  4. 19
  5. 27

วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ

จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)

เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\)  ซึ่ง

\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม

อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)

จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}

ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}

We have 219 guests and no members online