30. กำหนด ให้ \(a\) และ \(x\) เป็นจำนวนจริงโดยที่ \(0<a<x\) และ \(x^{2}+a^{2}=6ax\) จงหาค่าของ \(\frac{x+a}{x-a}\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครทำโจทย์บ่อยๆก็คงคิดออกเลยว่า ต้องใช้เครื่องมืออะไรในการแก้โจทย์ แต่ถ้าใครไม่เคยทำ พึ่งเคยเจอก็เคยบอกเลยว่า ใช้การยกกำลังสอง หรือมีชื่อเรียกอีกอย่างว่า กำลังสองสมบูรณ์ ใครที่ไม่รู้ว่าสูตรกำลังสองสมบูรณ์เป็นอย่างไรก็ให้ไปศึกษาก่อนนะคับเพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้น เอาละเรื่องเลย

พิจารณา

\begin{array}{lcl}(x+a)^{2}&=&x^{2}+2xa+a^{2}\\&=&x^{2}+a^{2}+2ax\\ because\quad \color{red}{x^{2}+a^{2}}=\color{red}{6ax}\\ so\\&=&\color{red}{6ax}+2ax\\&=&8ax\end{array}

ต่อไปเราก็จทำต่อครับ

\begin{array}{lcl}(x+a)^{2}&=&8ax\\\sqrt{(x+a)^{2}}&=&\sqrt{8ax}\\|x+a|&=&2\sqrt{2ax}\\ bebause\quad 0<a<x \quad \\so \quad |x+a|=x+a\\then\\\color{green}{x+a}&=&\color{green}{2\sqrt{2ax}}\quad \cdots (1)\end{array}

พิจารณา

\begin{array}{lcl}(x-a)^{2}&=&x^{2}-2xa+a^{2}\\&=&x^{2}+a^{2}-2ax\\ because\quad \color{red}{x^{2}+a^{2}}=\color{red}{6ax}\\ so\\&=&\color{red}{6ax}-2ax\\&=&4ax\end{array}

ต่อไปเราก็จทำต่อครับ

\begin{array}{lcl}(x-a)^{2}&=&4ax\\\sqrt{(x-a)^{2}}&=&\sqrt{4ax}\\|x-a|&=&2\sqrt{ax}\\ bebause\quad 0<a<x \quad \\so \quad |x-a|=x-a\\then\\\color{green}{x-a}&=&\color{green}{2\sqrt{ax}}\quad \cdots (2)\end{array}

จากทั้งสมการ \((1)\) และ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x+a}{x-a}&=&\frac{2\sqrt{2ax}}{2\sqrt{ax}}\\&=&\sqrt{\frac{2ax}{ax}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}