31. กำหนด \(0<a<1\) และ \(a+\frac{1}{a}=3\) จงหาค่าของ \(a-\frac{1}{a}\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อนี้เลยครับ ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (30) คือใช้กำลังสองสมบูรณ์ครับผม

พิจารณา

\begin{array}{lcl}(a+\frac{1}{a})^{2}&=&3^{2}\\a^{2}+2(a)\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}&=&9\\a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}&=&9\quad\cdots (1)\end{array}

นำ \(4\) ไปลบออกทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}-4&=&9-4\\a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}&=&5\quad\cdots (2)\end{array}

พิจารณา 

\begin{array}{lcl}(a-\frac{1}{a})^{2}&=&a^{2}-2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\&=&a^{2}-2+\frac{1}{a}\quad\cdots (3)\end{array}

แทนค่าที่ได้จากสมการที่ \((2)\) ลงไปในสมการ \((3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(a-\frac{1}{a})^{2}&=&a^{2}-2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\&=&a^{2}-2+\frac{1}{a}\quad\cdots (3)\\&=&5\\\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}&=&\sqrt{5}\\|a-\frac{1}{a}|&=&\sqrt{5}\\because\quad 0<a<1\\so\\ |a-\frac{1}{a}|=-(a-\frac{1}{a})\\then\\-(a-\frac{1}{a})&=&\sqrt{5}\\a-\frac{1}{a}&=&-\sqrt{5}\quad\underline{Ans}\end{array}