34. กำหนดให้ \(a,\quad b\) และ \(c\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \(2^{a}=3^{b}=216^{c}\) แล้วค่าของ \(\frac{ab}{bc+ca}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  เราจะเห็นว่า \(216=2^{3}\times 3^{3}\) ดังนั้น \(216^{c}=(2^{3}\times 3^{3})^{c}=2^{3c}3^{3c}\)

เราจึงได้ว่า \(2^{a}=3^{b}=2^{3c}3^{3c}\)

พิจารณา

\begin{array}2^{a}&=&3^{b}\end{array}

ยกกำลัง \(\frac{1}{a}\) ทั้งสองข้างของสมการจะได้

\begin{array}{lcl}(2^{a})^{\frac{1}{a}}&=&(3^{b})^{\frac{1}{a}}\\2&=&3^{b/a}\quad \cdots (1)\end{array}

พิจารณา

\begin{array}{lcl}3^{b}&=&2^{3c}3^{3c}\quad\cdots (2)\end{array}

แทน \(2\) ด้วย \(3^{b/a}\) ลงในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}3^{b}&=&(3^{b/a})^{3c}3^{3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc}{a}}3^{3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc}{a}+3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc+3ac}{a}}\\so\\b&=&\frac{3bc+3ac}{a}\\\color{green}{ab}&=&\color{green}{3(bc+ac)}\end{array}

ต่อไปก็หาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{ab}{bc+ca}&=&\frac{3(bc+ac)}{bc+ca}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}