31. กำหนด \(0<a<1\) และ \(a+\frac{1}{a}=3\) จงหาค่าของ \(a-\frac{1}{a}\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อนี้เลยครับ ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (30) คือใช้กำลังสองสมบูรณ์ครับผม

พิจารณา

\begin{array}{lcl}(a+\frac{1}{a})^{2}&=&3^{2}\\a^{2}+2(a)\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}&=&9\\a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}&=&9\quad\cdots (1)\end{array}

นำ \(4\) ไปลบออกทั้งสองข้างของสมการ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}-4&=&9-4\\a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}&=&5\quad\cdots (2)\end{array}

พิจารณา 

\begin{array}{lcl}(a-\frac{1}{a})^{2}&=&a^{2}-2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\&=&a^{2}-2+\frac{1}{a}\quad\cdots (3)\end{array}

แทนค่าที่ได้จากสมการที่ \((2)\) ลงไปในสมการ \((3)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(a-\frac{1}{a})^{2}&=&a^{2}-2(a)(\frac{1}{a})+\frac{1}{a^{2}}\\&=&a^{2}-2+\frac{1}{a}\quad\cdots (3)\\&=&5\\\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}&=&\sqrt{5}\\|a-\frac{1}{a}|&=&\sqrt{5}\\because\quad 0<a<1\\so\\ |a-\frac{1}{a}|=-(a-\frac{1}{a})\\then\\-(a-\frac{1}{a})&=&\sqrt{5}\\a-\frac{1}{a}&=&-\sqrt{5}\quad\underline{Ans}\end{array}

33. ถ้า \(x^{2}-3x+1=0\) แล้ว \(x^{2}-x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราทำแบบที่เคยทำคือ แก้สมการกำลังสองตัวนี้ \(x^{2}-3x+1=0\) แล้วนำค่า \(x\) ที่ได้ไปแทนลงในโจทย์เพื่อหาคำตอบ  งานนี้ตายแน่ เพราะอะไร ลองหาคำตอบดูก็ได้

\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=&\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}\\&=&\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{array} 

จะเห็นว่าค่าของ \(x\) ที่เราได้มันยุ่งยากเหลือเกิน ถ้าเอาไปแทนค่าหาคำตอบคงยากแน่ วิธีการที่ควรทำคือ ลองจัดรูปพวกนี้ดูคับ

\begin{array}{lcl}x^{2}-3x+1&=&0\\x^{2}-3x&=&-1\\x(x-3)&=&-1\\x-3&=&-\frac{1}{x}\\\color{red}{x+\frac{1}{x}}&=&\color{red}{3}\quad\cdots (1)\end{array}

ต่อไปนำ \((1)\) มายกกำลังสอง

\begin{array}{lcl}(x+\frac{1}{x})^{2}&=&(3)^{2}\\x^{2}+2(x)\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&9\\x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}&=&9\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&9-2\\\color{green}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}&=&\color{green}{7}\quad\cdots (2)\end{array}

ที่นี้ลองนำสิ่งที่โจทย์ให้หามาจัดรูปใหม่ดู ก็จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}&=&x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-x-\frac{1}{x}\\&=&\color{green}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}-\color{red}{(x+\frac{1}{x})}\\&=&7-3\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}

34. กำหนดให้ \(a,\quad b\) และ \(c\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \(2^{a}=3^{b}=216^{c}\) แล้วค่าของ \(\frac{ab}{bc+ca}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  เราจะเห็นว่า \(216=2^{3}\times 3^{3}\) ดังนั้น \(216^{c}=(2^{3}\times 3^{3})^{c}=2^{3c}3^{3c}\)

เราจึงได้ว่า \(2^{a}=3^{b}=2^{3c}3^{3c}\)

พิจารณา

\begin{array}2^{a}&=&3^{b}\end{array}

ยกกำลัง \(\frac{1}{a}\) ทั้งสองข้างของสมการจะได้

\begin{array}{lcl}(2^{a})^{\frac{1}{a}}&=&(3^{b})^{\frac{1}{a}}\\2&=&3^{b/a}\quad \cdots (1)\end{array}

พิจารณา

\begin{array}{lcl}3^{b}&=&2^{3c}3^{3c}\quad\cdots (2)\end{array}

แทน \(2\) ด้วย \(3^{b/a}\) ลงในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}3^{b}&=&(3^{b/a})^{3c}3^{3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc}{a}}3^{3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc}{a}+3c}\\3^{b}&=&3^{\frac{3bc+3ac}{a}}\\so\\b&=&\frac{3bc+3ac}{a}\\\color{green}{ab}&=&\color{green}{3(bc+ac)}\end{array}

ต่อไปก็หาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{ab}{bc+ca}&=&\frac{3(bc+ac)}{bc+ca}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}

35. กำหนดให้ \(a^{3n}=5\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง  และ \(n\) เป็นจำนวนเต็ม แล้ว \(\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้เราพยายามแยกเลขยกกำลังให้ให้อยู่ในรูป \(a^{3n}\) ให้ได้ เช่น

\(a^{4n}=a^{3n}a^{n}\)

\(a^{7n}=a^{3n}a^{3n}a^{n}\)

\(a^{-5n}=a^{-3n}a^{-3n}a^{n}\)

\(a^{-2n}=a^{-3n}a^{n}\)

ทุกคนน่าจะพอมองเห็นภาพแล้ว เริ่มทำกันเลยครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}&=&\frac{a^{3n}a^{n}+a^{3n}a^{3n}a^{n}+a^{-3n}a^{-3n}a^{n}}{a^{-3n}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{5a^{n}+(5)(5)a^{n}+\frac{1}{5}(\frac{1}{5})a^{n}}{\frac{1}{5}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{a^{n}(5+25+\frac{1}{25})}{a^{n}(\frac{1}{5}+1)}\\&=&(30+\frac{1}{25})\times \frac{5}{6}\\&=&25+\frac{1}{30}\\&=&\frac{751}{30}\end{array}

41. ให้ \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\)  จงหาค่าของ \(x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}\)

วิธีทำ ข้อนี้เรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อน จะเห็นว่าเลขชี้กำลัง พวก 2566 ,2550 มันสามารถเขียนในรูปของ 2558 ได้ ซึ่งก็คือ

\(2566=2558+8\)

\(2550=2558-8\)

ดังนั้นเราจัดรูปสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อนครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}&=&x^{2558+8}-47x^{2558}+x^{2558-8}\\&=&x^{2558}x^{8}-47x^{2558}+x^{2558}x^{-8}\\&=&x^{2558}(x^{8}-47+x^{-8})\\&=&x^{2558}(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}-47)\quad\cdots (1)\end{array}

ซึ่งจากสมการที่ \((1)\) เราจะเห็นตัวละครที่สำคัญในการทำต่อคือ \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}\) ซึ่งตัวนี้หาได้จากการที่เราเอา \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\) มายกกำลังไปเรื่อยๆจนกว่าจะได้เลขชี้กำลังเป็น 8 คับ เราเริ่มจากการยกกำลังสองก่อนเลย

\begin{array}{lcl}x+\frac{1}{x}&=&\sqrt{5}\\(x+\frac{1}{x})^{2}&=&(\sqrt{5})^{2}\\x^{2}+2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&5\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&3\\(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}&=&(3)^{2}\\x^{4}+2x^{2}\frac{1}{x^{2}}+x^{4}&=&9\\x^{4}+\frac{1}{x^{4}}&=&7\\(x^{4}+\frac{1}{x^{4}})^{2}&=&(7)^{2}\\x^{8}+2x^{4}\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{8}}&=&49\\x^{8}+\frac{1}{x^{8}}&=&47\end{array}

จากด้านบนเราจะเห็นว่า \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}=47\) ถ้าเราเอาตรงนี้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) เราก็จะเห็นว่าเกิดการลบกันได้ 0 นั่นก็คือ\(47-47=0\) ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(0\) นั่นเองครับ