33. ถ้า \(x^{2}-3x+1=0\) แล้ว \(x^{2}-x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราทำแบบที่เคยทำคือ แก้สมการกำลังสองตัวนี้ \(x^{2}-3x+1=0\) แล้วนำค่า \(x\) ที่ได้ไปแทนลงในโจทย์เพื่อหาคำตอบ  งานนี้ตายแน่ เพราะอะไร ลองหาคำตอบดูก็ได้

\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=&\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}\\&=&\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{array} 

จะเห็นว่าค่าของ \(x\) ที่เราได้มันยุ่งยากเหลือเกิน ถ้าเอาไปแทนค่าหาคำตอบคงยากแน่ วิธีการที่ควรทำคือ ลองจัดรูปพวกนี้ดูคับ

\begin{array}{lcl}x^{2}-3x+1&=&0\\x^{2}-3x&=&-1\\x(x-3)&=&-1\\x-3&=&-\frac{1}{x}\\\color{red}{x+\frac{1}{x}}&=&\color{red}{3}\quad\cdots (1)\end{array}

ต่อไปนำ \((1)\) มายกกำลังสอง

\begin{array}{lcl}(x+\frac{1}{x})^{2}&=&(3)^{2}\\x^{2}+2(x)\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&9\\x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}&=&9\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&9-2\\\color{green}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}&=&\color{green}{7}\quad\cdots (2)\end{array}

ที่นี้ลองนำสิ่งที่โจทย์ให้หามาจัดรูปใหม่ดู ก็จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-x+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}&=&x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-x-\frac{1}{x}\\&=&\color{green}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}-\color{red}{(x+\frac{1}{x})}\\&=&7-3\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}