43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\)
ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- -6
- 6
- -12
- 12
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}
พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)
\begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}
สิ่งที่ต้องรู้คือ
\(IC=C\)
\(\det I=1\)
สนับสนุนเว็บไซต์