• ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (42)

    42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)

    ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ   \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)

    โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ   ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}

    ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}

    ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\)  และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)

    ดังนั้น

    \(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (43)

    43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\) 

    ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. -6
    2. 6
    3. -12
    4. 12

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}

    พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)

    \begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}

    สิ่งที่ต้องรู้คือ 

    \(IC=C\)

    \(\det I=1\)

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (44)

    44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)

    ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 40
    2. 42
    3. 80
    4. 82

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า

    \(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)

    เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย

    \begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}

    แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)

    ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ

    \(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}

  • ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (56)

    56. \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    วิธีทำ โจทย์แนวนี้หาคำตอบไม่ยากคับ ใครอยากทำโจทย์แบบนี้เพิ่มให้ไปอ่านตามลิงก์นี้

    เอาละเรามาเริ่มทำโจทย์กันดีกว่า เป็นข้อสอบ A-level คณิตศาสตร์ ใครเร็วใครได้เพราะข้อสอบไม่ยากมาก

    กำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) จะได้ว่า \(\cos A=\frac{5}{13}\)

    กำหนดให้ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\) จะได้ว่า \(\sin B=\frac{3}{5}\)

    แล้วให้เราข้อมูลนี้คือ \(\cos A=\frac{5}{13}\) และ \(\sin B=\frac{3}{5}\)  ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\tan A,\tan B\)  ได้รูป ดังนี้

    เริ่มทำต่อเลยนะคับ จากที่เรากำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) และ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\)  เมื่อนำไปแทนค่าในนี้ \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\)  เราก็จะได้่ว่าสิ่งที่เราต้องการหาก็คือ \(\tan (A+B)\) นั่นเอง ใช้สูตรเท็น เอ บวก บี เลย จำสูตรได้ก็ทำได้ข้อนี้ เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}\tan (A+B)&=&\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\&=&\frac{\frac{12}{5}+\frac{3}{4}}{1-\frac{12}{5}\cdot \frac{3}{4}}\\&=&\frac{\frac{63}{20}}{\frac{20-36}{20}}\\&=&-\frac{63}{16}\end{array}

  • เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ A-level

    เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ 

    • A-level
    • 9 วิชาสามัญ
    • Pat 1

    เรื่องฟังก์ชันลอการิทึม

    สำหรับคนที่ยังไม่มีพื้นฐานเกี่ยวกับ ฟังก์ชันลอการิทึม สามารถไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนคับผม

    ดาวน์โหลด