42. กำหนดเมทริกซ์ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\1&-x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบของสมการ   \(\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})=45\)

โดย \(a>b\) แล้ว \(2a-b\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   ข้อนี้ก่อนเริ่มแก้สมการหา \(\det (A)\) ไว้ก่อนเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\det (A)&=&(x)(-x)-(1)(-1)=-x^{2}+1=\color{red}{1-x^{2}}\end{array}

ต่อไปเราแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) กันเลยครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\det (2A^{2})+(1-x^{2})^{3}\det (A^{-1})&=&45\\2^{2}\det (A^{2})+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\2^{2}\det (A)\det (A)+(1-x^{2})^{3}\cdot \frac{1}{\det (A)}&=&45\\4(1-x^{2})^{2}+\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&45\\\frac{4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}}{1-x^{2}}&=&45\\4(1-x^{2})^{3}+(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\5(1-x^{2})^{3}&=&45(1-x^{2})\\\frac{(1-x^{2})^{3}}{(1-x^{2})}&=&\frac{45}{9}\\(1-x^{2})^{2}&=&9\\1-2x^{2}+x^{4}&=&9\\x^{4}-2x^{2}-8&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+2)&=&0\\so\\x^{2}=4\rightarrow x=\pm 2\quad \\ x^{2}=-2\quad \color{red}{no\quad solution\quad because\quad x^{2}\geq 0}\end{array}

ตอนนี้เราจะเห็นว่า \(x\) ของเราเท่ากับ \(\pm 2\) นั่นก็คือ \(a=2\)  และ \(b=-2\) เพราะโจทย์บอกว่า \(a\) ต้องมากว่า \(b\)

ดังนั้น

\(\underline{Ans}\quad 2a-b=2(2)-(-2)=4+2=6\)

43. ให้ \(A,B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) และ \(I\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ \(2\times 2\) 

ถ้า \(\det A=\det B=3\) และ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) แล้ว \(\det (C-2I)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -6
2. 6
3. -12
4. 12

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมาก แค่เอาสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)=-27\) มาจัดรูปให้ได้เป็น \(\det (C-2I)\) ให้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ ยากตรงจัดรูปนี่แหละครับ มาเริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\det (A^{t}B-\frac{1}{2}A^{t}BC)&=&-27\\\det [A^{t}B(1-\frac{1}{2}C)]&=&-27\\\det (A^{t}B)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A^{t}\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det A\det B\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\(3)(3)\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\9\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-27\\\det (1-\frac{1}{2}C)&=&-3\\\det(-\frac{1}{2}(-2+C))&=&-3\\(-\frac{1}{2})^{2}\det (-2+C)&=&-3\\\det (-2+C)&=&(-3)\times 4\\\det (C-2)&=&-12\\because\quad \det (C-2)=\det (C-2I)\\so\\\det (C-2I)&=&-12\quad\underline{Ans}\end{array}

พิสูจน์ให้ดูนิดหนึ่งว่าทำไม \(\det (C-2)=\det (C-2I)\)

\begin{array}{lcl}C-2&=&IC-2\\I(C-2)&=&I(IC-2)\\I(C-2)&=&C-2I\\\det (I(IC-2))&=&\det (C-2I)\\\det I\det (IC-2)&=&\det (C-2I)\\\det I\det(IC-2)&=&\det (C-2I)\\\color{red}{\det(C-2)}&=&\color{red}{\det(C-2I)}\end{array}

สิ่งที่ต้องรู้คือ 

\(IC=C\)

\(\det I=1\)

44. ให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(A\) เป็นเมทริกซ์ โดยที่ \(A=\begin{bmatrix}1+x&1\\1&1+x\end{bmatrix}\)

ถ้า \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) แล้ว \(\det [8A^{-1}+2A^{t}]\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 40
2. 42
3. 80
4. 82

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากมากคับ เพราะว่า \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) ขั้นตอนแรกเราหา \(\det A\) ก่อนเลยคับจะได้ว่า

\(\det A =(1+x)^{2}-1=x^{2}+2x+1-1=x^{2}+2x\)

เก็บค่าของ \(\det A\) เอาไว้ก่อนคับ ที่นี้เรามาดูสมการนี้ \(\det [\frac{1}{2}A^{2}]=16\) สมการนี้จะนำไปสู่ค่าของ \(x\) คับเริ่มแก้กันเลย

\begin{array}{lcl}\det [\frac{1}{2} A^{2}]&=&16\\(\frac{1}{2})^{2}(\det A)^{2}&=&16\\\frac{1}{4}(x^{2}+2x)^{2}&=&16\\(x^{2}+2x)^{2}&=&64\\(x^{2}+2x)^{2}&=&8^{2}\\so\\x^{2}+2x&=&8\\x^{2}+2x-8&=&0\\(x+4)(x-2)&=&0\\so\\x=-4\quad and\quad x=2\end{array}

แต่เนื่องจาก โจทย์บอกว่า \(x\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(x=2\)

ดังนั้นเราได้ เมทริกซ์ \(A\) คือ

\(A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\) ที่นี้เราก็หา \(A^{-1}\) และ \(A^{t}\) ได้แล้วคับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(3)(3)-(1)(1)}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\A^{-1}&=&\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}\\\\\\\\ A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&2\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\2A^{t}&=&\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\so\\8A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6&2\\2&6\end{bmatrix}\\2A^{-1}+2A^{t}&=&\begin{bmatrix}9&1\\1&9\end{bmatrix}\\so\\\det [8A^{-1}+2A^{t}]&=&(9)(9)-(1)(1)\\&=&81-1\\&=&\color{red}{80}\quad\underline{Ans}\end{array}

56. \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ โจทย์แนวนี้หาคำตอบไม่ยากคับ ใครอยากทำโจทย์แบบนี้เพิ่มให้ไปอ่านตามลิงก์นี้

•  โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ผกผันของฟังก์ชันไซน์หรืออาร์คไซน์(arcsine)
• พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอาละเรามาเริ่มทำโจทย์กันดีกว่า เป็นข้อสอบ A-level คณิตศาสตร์ ใครเร็วใครได้เพราะข้อสอบไม่ยากมาก

กำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) จะได้ว่า \(\cos A=\frac{5}{13}\)

กำหนดให้ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\) จะได้ว่า \(\sin B=\frac{3}{5}\)

แล้วให้เราข้อมูลนี้คือ \(\cos A=\frac{5}{13}\) และ \(\sin B=\frac{3}{5}\)  ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\tan A,\tan B\)  ได้รูป ดังนี้

เริ่มทำต่อเลยนะคับ จากที่เรากำหนดให้ \(A=\arccos\frac{5}{13}\) และ \(B=\arcsin\frac{3}{5}\)  เมื่อนำไปแทนค่าในนี้ \(\tan \left[ \arccos ( \frac{5}{13}) +\arcsin (\frac{3}{5}) \right]\)  เราก็จะได้่ว่าสิ่งที่เราต้องการหาก็คือ \(\tan (A+B)\) นั่นเอง ใช้สูตรเท็น เอ บวก บี เลย จำสูตรได้ก็ทำได้ข้อนี้ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\tan (A+B)&=&\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\&=&\frac{\frac{12}{5}+\frac{3}{4}}{1-\frac{12}{5}\cdot \frac{3}{4}}\\&=&\frac{\frac{63}{20}}{\frac{20-36}{20}}\\&=&-\frac{63}{16}\end{array}

1. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}-3x+c\) เมื่อ \(c\) เป็นจำนวนจริง  ถ้ากราฟของเส้นตรง \(y=6-x\) ตัดกับกราฟของ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) แล้ว \(x+2\) หาร \(f(x)\) เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต 1 (มี.ค.63/1)]

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายคับ มีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) ก็ทำได้แล้วคับ แต่ก่อนอื่นต้องหาค่าของ \(c\) ให้ได้ก่อน

กำหนดให้

\(y=6-x\)  เป็นสมการที่ \((1)\)

\(f(x)=x^{3}-3x+c\) เป็นสมการที่ \((2)\)

โจทย์บอกว่ากราฟของสองสมการนี้ตัดกันที่จุด\(x=2\) เราก็เอาค่าของ \(x=2\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาค่าของ \(y\) ออกมาจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}y&=&6-x\\y&=&6-2\\y&=&4\end{array}

ตอนนี้เรารู้ว่า ถ้า \(x=2\) จะได้ \(y=4\) เรานำค่านี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}-3x+c\\4&=&2^{3}-3(2)+c\\4&=&8-6+c\\4&=&2+c\\c&=&2\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(c=2\)  ดังนั้น

\(f(x)=x^{3}-3x+2\) นั่นเอง

โจทย์ถามว่า \(x+2=x-(-2)\) หาร \(f(x)\) เหลือเศษเท่าใด เราก็ใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem)หาคำตอบได้เลย

\begin{array}{lcl}f(x)=x^{3}-3x+2\\f(-2)&=&(-2)^{3}-3(-2)+2\\f(-2)&=&-8+6+2\\f(-2)&=&0\end{array}

ข้อนี้คำตอบคือ เศษ 0 นั่นเองคับ

2. ให้ \(\mathbb{Z}\) แทนเซตของจำนวนเต็ม ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต \(\{x\in\mathbb{Z}||\frac{x-1}{x+3}|=\frac{1-x}{x+3}\}\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต 1(เมษายน 64/3]

1. -5
2. -3
3. -2
4. 0
5. จำนวนสมาชิกในเซตนี้เป็นจำนวนอนันต์ และหาผลบวกไม่ได้

วิธีทำ แน่นอนข้อนี้เราก็ต้องแก้สมการเพื่อหาสมาชิกในเซตที่โจทย์กำหนดมาให้คับ ซึ่งเป็นสมการค่าสัมบูรณ์ ต้องรู้จักสมบัติค่าสัมบูรณ์ด้วย และถ้าเราสังเกตดีๆ จะเห็นว่าข้างซ้ายและข้างขวาสมการจะมีหน้าตาคล้ายๆกัน ซึ่งสามารถจัดรูปให้มันเหมือนกันได้คับ มาดูวิธีการทำเลยดีว่า

\begin{array}{lcl}|\frac{x-1}{x+3}|&=&\frac{1-x}{x+3}\\|\frac{x-1}{x+3}|&=&\frac{-(x-1)}{x+3}\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราให้ \(A=\frac{x-1}{x+3}\) เราก็จะได้

\(|A|=-A\) ซึ่งจากตรงนี้จากสมบัติค่าสัมบูรณ์เราจะได้ว่า \(A\leq 0\) ซึ่งนั้นก็คือ \(\frac{x-1}{x+3}\leq 0\) เราก็แก้อสมการนี้เพื่อหาค่า \(x\) เลยคับ เริ่มเลย แต่อย่าลืมนะจากอสการ \(x\) ต้องไม่เท่ากับ \(-3\) นะคับตัวส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้นะ

\begin{array}{lcl}\frac{x-1}{x+3}&\leq &0\\(x+3)^{2}\frac{x-1}{x+3}&\leq &0\\(x+3)(x-1)&\leq &0\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า \(x\in (-3,1]\) แต่ \(x\) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง \((-3,1]\) คือ \(-2,-1,0,1\)

ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดคือ \(-2+(-1)+1=-2\quad\underline{Ans}\)

3. ถ้า \(x^{2}-4x+5\) เป็นตัวประกอบของ \(x^{3}+ax^{2}+bx+30\) โดยที่ \(a)\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต1 (เม.ย.64)]

1. -29
2. -18
3. -17
4. 1
5. 19

วิธีทำ ข้อนี้มีวิธีการทำหลายวิธีนะคับ แต่วิธีที่ผมจะทำคือเทียบสัมประสิทธิ์เอาคับ 

จากโจทย์บอกว่า \(x^{2}-4x+5\) เป็นตัวประกอบของ \(x^{3}+ax^{2}+bx+30\) นั่นหมายความว่า

\((x^{2}-4x+5)(x-A)=x^{3}+ax^{2}+bx+30\)

เราก็จับมาคูณกันเลยคับ เราก็จะได้แบบนี้

\begin{array}{lcl}(x^{2}-4x+5)(x-A)&=&x^{3}+ax^{2}+bx+30\\x^{3}+(-4-A)x^{2}+(5+4A)x-5A&=&x^{3}+ax^{2}+bx+30\quad\cdots (1)\end{array}

ถ้าเราเทียบสัมประสิทธิ์จากสมการข้างบน เราจะไว่า

\begin{array}{lcl}-5A&=&30\\A&=&-6\end{array}

\begin{array}{lcl}-4-A&=&a\\-4+6&=&a\\a&=&2\end{array}

\begin{array}{lcl}5+4A&=&b\\5+4(-6)&=&b\\5-24&=&b\\b&=&-19\end{array}

ดังนั้น \(a=2\) และ \(b=-19\) ดังนั้น

\(a+b=2+(-19)=-17\quad\underline{Ans}\)

4. กำหนดให้ \(P(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx+d\) เมื่อ \(a,b,c,d\) เป็นค่าคงตัว ถ้า \(x-1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(10\) และ \(x\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(6\) แล้ว \(x+1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต1(ธ.ค.58/2)]

1. -4
2. -6
3. 2
4. 4
5. 6

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับเดี๋ยวลองทำไปพร้อมกันทีละขั้นตอนไปเลยคับ

โจทย์บอกว่า \(x-1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ 10 จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{5}+bx^{3}+cx+d\\P(1)&=&a(1)^{5}+b(1)^{3}+c(1)+d=1\\so\\a+b+c+d&=&10\quad\cdots (1)\end{array}

โจทย์บอกว่า \(x-0\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(6\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{5}+bx^{3}+cx+d\\P(0)&=&a(0)^{5}+b(0)^{3}+c(0)+d=6\\so\\d&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

โจทย์ถามว่า \(x+1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษเท่าไรก็คือให้ค่าของ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&a(-1)^{5}+b(-1)^{3}+c(-1)+d\\P(-1)&=&-a-b-c+d\end{array}

ตอนนี้ให้เราไปดูสมการที่ \((1)\) คือ

\begin{array}{lcl}a+b+c+d&=&10\\a+b+c+6&=&10\\a+b+c&=&10-6\\a+b+c&=&4\\so\\-a-b-c&=&-4\end{array}

คำตอบของข้อนี้ก็คือ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&-a-b-c+d\\&=&-4+6\\&=&2\quad\underline{Ans}\end{array}

5. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(|x^{2}-72|=x\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [ กสพท คณิต 1 (มี.ค.62/11)]

1. -1
2. 0
3. 8
4. 17
5. 19

วิธีทำ ข้อนี้เราก็แก้สมการติดค่าสัมบูรณ์คับ อย่าลืมนะว่าค่าสัมบูรณ์จะมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจากโจทย์เราจะได้ว่า \(x\geq 0\) เริ่มทำเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

\(x^{2}-72=x\)   หรือ \(x^{2}-72=-x\)

กรณี \(x^{2}-72=x\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-72&=&x\\x^{2}-x-72&=&0\\(x+8)(x-9)&=&0\\so\\x=-8,9\end{array}

กรณี \(x^{2}-72=-x\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-72&=&-x\\x^{2}+x-72&=&0\\(x+9)(x-8)&=&0\\so\\x=-9,8\end{array}

เนื่องจาก \(x\geq 0\) ดังนั้น \(x=8,9\) ผลบวกของคำตอบคือ \(9+8=17\underline{Ans}\)

6. ให้ \(S=\{x|x เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการ  6|x-3|<5x\}\)  จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต 1 (ธ.ค.58/1)]

วิธีทำ ข้อนี้เกี่ยวกับการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์  ถ้าเราดูจากอสมากร \(6|x-3|<5x\) เราจะเห็นได้ว่า \(|x-3|\geq 0\) แล้วไปคูณกับ 6 อีกก็ยังคงมากกว่าเท่ากับศูนย์อีกเหมือนเดิม  เราจึงได้ว่า  \(5x >0\) นั่นคือ \(x>0\) 

ต่อไปพิจารณา\(6|x-3|<5x\) จากความรู้เรื่องการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์เราจะได้ว่า

\(6(x-3)<5x\)   หรือ \(-6(x-3)<5x\)

กรณี \(6(x-3)<5x\)  เราจะได้

\begin{array}{lcl}6(x-3)&<&5x\\6x-18&<&5x\\6x-5x&<&18\\x&<&18\quad\cdots (1)\end{array}

กรณี \(-6(x-3)<5x\) จัดอสมการหน่อยก็จะได้ \(6x-18>-5x\)  เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}6x-18&>&-5x\\6x+5x&>&18\\x&>&\frac{18}{11}=1.64\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราจะได้ว่า

\(1.64<x<18\) 

นั่นคือ \(x\) เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1.64 และ 18 นั่นก็คือ \(x=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17\) ซึ่งมีทั้งหมด 16 ตัว

เฉลยข้อสอบ A-level วิชาคณิตศาสตร์ เรื่องเซต

1. กำหนด \(U\) แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ \(A,B\) เป็นสับเซตของ \(U\) โดยที่ \(n(U)=100\quad ,n(A\cap B)=35\) และ \(n(A^{\prime}\cap B^{\prime})=9\) ถ้า \(n(A)\geq 61\) แล้ว \(n(B)\) ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด [A-level 1 (มี.ค.66/26)]

วิธีทำ     ข้อนี้จะแสดงวิธีทำแบบง่ายๆ โดยดูจากแผนภาพเอานะคับ อย่างน้อยข้อนี้คนที่จะอ่านเข้าใจต้องเคยเรียนเกี่ยวกับแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์มาบ้างคับ 

จากรูปนะ พื้นที่สีเขียวต้องมีสมาชิกอย่างน้อยสุดคือ 26 (\(\geq 26\)) เพราะว่าเอาไปบวกกับ \(35\) จะได้ค่า \(\geq 61\) ตามเงื่อนไขในโจทย์  ที่นี้โจทย์บอกว่าสมาชิกในเซต \(B\) ก็คือพื้นที่สีแดงมากสุดที่เป็นไปได้คือเท่าไร  เราอยากให้สมาชิกในพื้นที่แดงมันมาก แสดงว่าสมาชิกในพื้นที่สีเขียวต้องน้อยๆ ถูกไหม และสมาชิกในพื้นที่เขียวน้อยสุดที่เป็นได้คือ 26  ที่เสร็จเราละ เราเอาจำนวนสมาชิกทั้งหมดตั้ง ลบออกจำนวนสมาชิกในพื้นที่สีเขียวกับสีเหลือง ก็จะได้สมาชิกในพื้นที่สีแดงมากที่สุดที่เป็นไปได้ นั่นคือ

\begin{array}{lcl}n(B)&=&100-(26+9)\\&=&100-35\\&=&65\quad\underline{Ans}\end{array}

2. ให้ \(U\) เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และ \(A,B,C\) เป็นสับเซตของ \(U\)

ถ้า \(A\cap B=B\cap C=A\cap C=A\cap B\cap C\)

\(n(A)=n(B)=n(C)=10\quad , n(U)=30\) และ \(n((A\cup B\cup C)^{\prime})=6\) แล้ว \(n((A\cup B)\cap C^{\prime})\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต 1 (เม.ย.64/8)]

1. 14
2. 16
3. 17
4. 20
5. 23

วิธีทำ

ข้อนี้วาดรูปดูและเข้าใจแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ก็ทำได้แล้วครับ

จากรูปภาพด้านบน เราจะเห็นว่าพื้นที่สีแดงคือพื้นที่ที่เราต้องการรู้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว ซึ่งเราหาได้โดยเอาพื้นทั้งหมด \(A\cup B\cup B\) ลบออกด้วย พื้นที่ของ \(C\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}n((A\cup B)\cap C^{\prime})&=&n(A\cup B\cup C)-n(C)\\&=&24-10\\&=&14\end{array}

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ 

• A-level
• 9 วิชาสามัญ
• Pat 1

เรื่องฟังก์ชันลอการิทึม

สำหรับคนที่ยังไม่มีพื้นฐานเกี่ยวกับ ฟังก์ชันลอการิทึม สามารถไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนคับผม

• ฟังก์ชันลอการิทึม ม.5
• สมบัติของลอการิทึม
• การหาค่าลอการิทึม
• การแก้สมการลอการิทึม