51. กำหนดให้ \(x+1\) และ \(x-1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\) เมื่อ \(a,b\) เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-a-b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Entrance คณิตศาสตร์ 1 สอบเมื่อ 13 มี.ค.44)

1. 15
2. 17
3. 19
4. 21

ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) ใครที่อยากอ่านก็ตามลิงก์ครับ 

วิธีทำ โจทย์บอกว่า \(x+1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\)  นั่นหมายความว่า \(p(-1)=0\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(-1)&=&3(-1)^{3}+(-1)^{2}-a(-1)+b\\0&=&-3+1+a+b\\\color{red}{a+b}&=&\color{red}{2\quad\cdots (1)}\end{array}

โจทย์บอกว่า \(x-1\) เป็นตัวประกอบของพหุนาม \(p(x)=3x^{3}+x^{2}-ax+b\)  นั่นหมายความว่า \(p(1)=0\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(1)&=&3(1)^{3}+(1)^{2}-a(1)+b\\0&=&3+1-a+b\\\color{green}{b-a}&=&\color{green}{-4\quad\cdots (2)}\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามารถหาค่าของ \(a,b\) ได้จากสองสมการนี้ครับ ก็คือ นำสมการ \((1)+(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl} (a+b)+(b-a)&=&2+(-4)\\2b&=&-2\\b&=&-1\end{array}

แทน \(b=-1\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}a+(-1)&=&2\\a&=&3\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(a=3\quad , b=-1\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}x-a-b&=&x-3-(-1)&=&x-2\end{array}

ดังนั้นเศษเหลือจากการหาร \(p(x)\) ด้วย \(x-a-b\) ก็คือหารด้วย \(x-2\) นั่นเอง ก็คือ \(p(2)\) ครับ ได้ว่า

\begin{array}{lcl}p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-ax+b\\p(x)&=&3x^{3}+x^{2}-3x-1\\p(2)&=&3(2)^{3}+(2)^{2}-3(2)-1\\p(2)&=&24+4-6-1\\p(2)&=&21\quad \underline{Ans}\end{array}