50. ถ้า \(\cos 5\theta=a\cos^{5}\theta+b\cos^{3}\theta+c\cos\theta\) เมื่อ \(\theta\) เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย. 57 ข้อ 33)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้พวกเราเอา \(\cos 5\theta\) มีจัดรูปให้ได้เหมือนกับฝั่งขวาของสมการ เราก็จะได้ว่า \(a,b,c\) เป็นเท่าไร มาดูวิธีการทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\cos 5\theta &=&\cos (4\theta +\theta)\\&=&\cos 4\theta\cos\theta-\sin 4\theta \sin\theta\\&=&\cos 2(2\theta )\cos\theta -[\sin 2(2\theta )\sin\theta ]\\&=&(2\cos^{2}2\theta -1)\cos\theta -[2\sin 2\theta\cos 2\theta\sin\theta ]\\&=&[2(2\cos^{2}\theta -1)^{2}-1)]\cos\theta -[(2)(2)\sin\theta\cos\theta(2\cos^{2}\theta -1)\sin\theta ]\\&=&[2(4\cos^{4}\theta -4\cos^{2}\theta +1)-1]\cos\theta -[4\sin^{2} \cos\theta (2\cos^{2}\theta -1)]\\&=&[8\cos^{4}\theta -8\cos^{2}\theta +2-1]\cos\theta - [\sin^{2}\theta (8\cos^{3}\theta -4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta - [(1-\cos^{2}\theta )(8\cos^{3}\theta - 4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -[8\cos^{3}\theta +4\cos^{3}\theta -8\cos^{5}\theta -4\cos\theta ]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -8\cos^{3}\theta -4\cos^{3}\theta +8\cos^{5}\theta +4\cos\theta\\&=&16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\end{array}

จาก ด้านบนจะเห็นว่า \(a=16,\quad b=(-20),\quad c=5\) ดังนั้น

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=16^{2}+(-20)^{2}+(5)^{2}=681\)