69.ให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ \(x^{2}+ax+b\) หาร \(x^{3}-3x^{2}+5x+7\) มีเศษเหลือเท่ากับ \(10\) ค่า \(a+b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้ต้องกลับไปดูพื้นฐานของการหารเช่น ผมเอา \(9\div 2\) จะได้คำตอบคือ ได้ \(4\) เศษ 1 ซึ่งถ้าเราเขียนให้อยู่ในรูปสมการได้คือ

\[9=(4\times 2)+1\]  นั่นคือ

ตัวตั้ง เท่ากับ (ตัวหาร\(\times\) ผลลัพธ์) + เศษ

ดังนั้นจากโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\end{array}

ต่อไปให้นำ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) ไปแยกตัวประกอบ จะเห็นได้ว่า

ให้ \(P(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3\)

\(P(1)=1-3+5-3=0\) นั่นคือ \(x^{3}-3x^{2}+5x-3\) หารด้วย \(x-1\) ลงตัว ก็ไปหารสังเคราะห์เลย การหารสังเคราะห์ไปอ่านตามลิงก์ที่ผมให้นะคับ ไปศึกษาเอง หลังจากหารสังเคราะห์เสร็จแล้ว เราจะได้ว่า \(x^{3}-3x^{2}+5x-3=(x^{2}-2x+3)(x-1)\)

นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}x^{3}-3x^{2}+5x+7&=&(x^{2}+ax+b\times \square )+10\\x^{3}-3x^{2}+5x-3&=&x^{2}+ax+b\times \square\\(x^{2}-2x+3)(x-1)&=&(x^{2}+ax+b)\times\square\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราทำต่อไม่ได้แล้วคือแยกตัวประกอบต่อไปไม่ได้แล้ว ดังนั้นเราก็เทียบสัมประสิทธิ์เพื่อหาค่าของ \(a\) และ \(b\) กันเลย จึงได้ว่า \(a=-2\) และ \(b=3\)

ดังนั้น \(a+b=-2+3=1\)