70.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี \(A\hat{C}B=60^{\circ}\) ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) ไปพบด้าน \(BC\) ที่จุด \(D\) โดยทำให้ \(B\hat{A}D=30^{\circ}\) ถ้าระยะ \(BD\) ยาว \(3\) หน่วย และระยะ \(AD\) ยาว \(2\) หน่วย แล้ว ระยะ \(CD\) ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
2. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{7\sqrt{6}}{9}\)
4. \(\frac{8\sqrt{6}}{9}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปครับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สิ่งที่โจทย์ให้หาคือความยาวของ \(CD\) ผมกำหนดให้ยาว \(CD\) ยาว \(m\) แสดงว่าเรากำลังหาความยาวของ \(m\) นั่นเองคับ

ข้อนี้ต้องความรู้เรื่องของ กฎของไซน์  หรือ กฎของโคไซน์  แต่ผมขอใช้กฎของไซน์นะคับน่าจะง่ายกว่า

จากรูปที่เราวาดเราจะเห็นว่า \(x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\)

จากกฎของไซน์จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sin 60^{\circ}}{2}\\\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}\\m&=&\frac{4\sin x}{\sqrt{3}}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\quad \cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน ต่อไปเราก็ต้องไปหาค่าของ \(\sin x\) กันคับ

เราจะเห็นค่าของ \(\sin x\) โดยกฎของไซน์ ดูจากรูปนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin y}{2}&=&\frac{\sin 30^{\circ}}{3}\\\frac{\sin y}{2}&=&\frac{1}{6}\\\sin y&=&\frac{1}{3}\\from\quad x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\\so\quad y^{\circ}=90^{\circ}-x^{\circ}\\then\\\sin(90^{\circ}-x)&=&\frac{1}{3}\\\cos x&=&\frac{1}{3}\end{array}

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูปจะได้ \(\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) เอาค่า \(\sin x\) ที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\\m&=&\frac{8\sqrt{6}}{9}\quad\underline{Ans}\end{array}