สับเซต(subset) ถ้าเราดูตามศัพท์ในภาษาอังกฤษ คำว่า sub ก็คือส่วนย่อย ส่วนเล็กๆ หน่วยย่อย ดังนั้น subset ก็คือเซตที่เป็นเซตย่อยๆของอีกเซตหนึ่งนั่นเอง แต่ที่นี้เรามาดูนิยามในทางคณิตศาสตร์บ้างว่า subset มันคืออะไร
|
นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย \(A\subset B\) |
มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่า
ตัวอย่าง ให้ \(A=\{2,3,\}\) และ \(B=\{2,3,4\}\) เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่
วิธีทำ จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ดังนั้นจะได้ว่า \(A\subset B\)
แต่สมาชิกบางตัวของ B ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A เราจะได้อีกว่า \(B\nsubseteq A\)
(เซตB ไม่เป็นสับเซตของเซต A)
ตัวอย่าง ให้ \(A=\{\{1,2\},3,4\}\) และ \( B=\{1,2,3,4\} \) เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่
วิธีทำ จะเห็นว่าสมาชิกของเซต A ได้แก่
\(\{1,2\} \in A\)
\(3\in A\)
\(4\in A\)
สมาชิกของเซต B ได้แก่
\(1\in B\)
\(2\in B\)
\(3\in B\)
\(4\in B\)
ซึ่งจะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต A คือ \(\{1,2\}\) ไม่เป็นสมาชิกของ B
ดังนั้น \(A\nsubseteq B\)
ตัวอย่าง ให้ \(C=\{1,2,3\}\) จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต C
วิธีทำ จะเห็นได้ว่า
เซตที่มีสมาชิก 1 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่
\(\{1\} \subset C\)
\(\{2\} \subset C\)
\(\{3\} \subset C\)
เซตที่มีสมาชิก 2 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่
\(\{1,2\} \subset C\)
\(\{1,3\} \subset C\)
\(\{2,3\} \subset C\)
เซตที่มีสมาชิก 3 ตัวและเป็นสับเซตของ C ได้แก่
\(\{1,2,3\} \subset C\)
อีกเซตหนึ่งที่ีเป็นสับเซตของทุกเซตเลยก็คือ เซตว่าง
\(\phi \subset C\)
ดังนั้นสับเซตทั้งหมดของ C คือ \(\phi ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)
*** จำเอาไปใช้ได้เลยนะครับเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
ดังนั้นจากข้อนี้ เซต C มีสับเซตทั้งหมดจำนวน 8 ตัว
วิธีการง่ายๆในการหาจำนวนสับเซตทั้งหมดของเซตใดๆคือใช้สูตร \(2^{n}\)
เมื่อ n คือจำนวนสมาชิกของเซตที่เราต้องการหาสับเซต อย่างเช่นในข้อนี้
C มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 3 ตัว ดังนั้นจำนวนสับเซตทั้งหมดของ C คือ \(2^{3}=8\) ตัว
ข้อควรทราบ
1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต \(\phi \subset A\)
2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง \(A\subset A\)
3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น \(2^{n}\) ตัว
ตัวอย่าง กำหนด \(D=\{a,b,c\}\)
ข้อต่อไปนี้ข้อใดถูกข้อใดผิด
1) \(a \in D\) ข้อนี้ถูกครับ เพราะสมาชิกของ D มีสามตัวคือ \(a,b,c\)
2) \(\{c\} \in D\) ข้อนี้ผิดครับ เพราะ \( \{c\}\subset D\) เป็นสับเซตไม่ใช่สมาชิก
3) \(b \notin D\) ข้อนี้ผิด เพราะ b เป็นสมาชิกของเซต D
4) \(\{a\}\subset D\) ข้อนี้ถูก
5) \(\{a\} \in D\) ข้อนี้ผิด ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(a \in D\) ต้องไม่มีปีกกา
6) \(\{a,b,c\} \subset D\) ข้อนี้ถูก
7) \(\{a,c\} \subset D\) ข้อนี้ก็ถูก
ตัวอย่าง กำหนดให้ \(E=\{\{1\},2,3,\{4,5\}\}\)
ข้อต่อไปนี้ข้อใดถูก และข้อใดผิด
1) \(\{1\}\subset E\) ข้อนี้ผิด ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(\{\{1\}\}\subset E\)
2) \(\{\{4\}\}\subset E\) ข้อนี้ผิดครับ
3)\(2\in E\) ข้อนี้ถูก
4) \(\{4\}\in E\) ข้อนี้ผิด
5)\(\{1\} \in E\) ถูกต้องครับข้อนี้
6) \(\{\{1\}\} \subset E\) ข้อนี้ถูก
7)\( \{4,5\}\in E\) ข้อนี้ถูก
8) \(\{2,3\}\in E\) ข้อนี้ผิด ถ้าจะให้ถูกต้องบอกว่า \(2,3 \in E\)
9) \( 3 \in E\) ข้อนี้ถูก